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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] y''=\frac{2y(y')^2}{1+y^2}.
[/mm]
Definiere z=y'. Leiten Sie eine Differetnialgleichung für z her und ermitteln Sie z als Funktion von y. |
Hallo,
irgendwie kann ich das mit dem z=y' nicht umsetzen. Wie komme ich dann überhaupt zur DGL für z?
Was hängt denn da von was ab? Wenn ich die DGL für z habe, sollte das ja eine DGL erster Ordnung sein, die man dann irgendwie mit Trennung der Variablen oder so lösen sollte.
Gruß Unk
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Hallo,
sry aber eine endgültige Lösung krieg ich auch nicht hin.
Ich bin soweit:
[mm] $2y'*(y'')=((y')^2)'$. [/mm] Und wenn ich dann [mm] $(1+y^2)y''=2y(y')^2$ [/mm] lösen will komme ich auf $y'' + y^2y'' = [mm] 2y(y')^2$ [/mm] und damit auf $ y'' + y^2y'' = [mm] (y^2)' [/mm] y' $, aber mehr will mir um die Zeit leider auch nicht einfallen.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
Du hast scheinbar nicht den z Ansatz gemacht, den ich aber überhaupt nicht durchschaue.
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Na doch, darauf wollte ich hinaus.
Wenn ich das alles in die Form [mm] $(y')^2$ [/mm] bring oder [mm] $((y')^2)'$ [/mm] dann könntest du ohne Probleme $y'=z$ substituieren. Aber bei dem mittleren Term $y^2y''$ bin ich grad überfragt. Ich gugg morgen einfach nochmal drauf, vllt machts dann klick.
Gute Nacht!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist [mm]y''=\frac{2y(y')^2}{1+y^2}.[/mm]
> Definiere z=y'. Leiten Sie eine Differetnialgleichung für
> z her und ermitteln Sie z als Funktion von y.
> Hallo,
>
> irgendwie kann ich das mit dem z=y' nicht umsetzen. Wie
> komme ich dann überhaupt zur DGL für z?
> Was hängt denn da von was ab? Wenn ich die DGL für z
> habe, sollte das ja eine DGL erster Ordnung sein, die man
> dann irgendwie mit Trennung der Variablen oder so lösen
> sollte.
Gemeint ist $z(y)=y'(x)$. Durch Ableiten nach x ergibt sich:
[mm] z'(y)*y'(x) = y''(x) [/mm],
d.h. $y''=z'*z$. Setze das ein und du bekommst eine DGL 1. Ordnung für $z(y)$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:40 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
Gut danke, damit konnte ich ein Lösung für z bestimmen. Aber wie sieht dann die Rücksubstitution aus? Ich habe [mm] z(y(x))=C(1+y^2).
[/mm]
Dann sagt mir mein Gefühl nun, dass für y irgendwas mit tangens rauskommen sollte.
Ich dachte erst, ich schreibe: [mm] C(1+y^2)=frac{dy}{dx}\Leftrightarrow [/mm] dy=C(1+2y)dx und integriere dann, aber dann kommt was anderes raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:27 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gut danke, damit konnte ich ein Lösung für z bestimmen.
> Aber wie sieht dann die Rücksubstitution aus? Ich habe
> [mm]z(y(x))=C(1+y^2).[/mm]
> Dann sagt mir mein Gefühl nun, dass für y irgendwas mit
> tangens rauskommen sollte.
> Ich dachte erst, ich schreibe:
> [mm]C(1+y^2)=frac{dy}{dx}\Leftrightarrow[/mm] dy=C(1+2y)dx und
> integriere dann, aber dann kommt was anderes raus.
Da hast du dich verrechnet:
[mm] \integral \bruch{dy}{1+y^2} = \arctan y [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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