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| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Auflösung z(x,y) und u(x,y) des nichtlinearen Gleichungssystem [mm] x^2y^3*e^{-z}*u=-2, [/mm] xz+yu=-2 in der Umgebung der Stelle (x,y,z,u)=(1,-1,0,2) die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}*(1,-1) [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1) [/mm] |
Hallo,
habe mich vorhin mal an dieser Aufgabe versucht und folgendes dazu geschrieben: (es soll überall e hoch -z bedeuten. Irgendwie bekomm ich das hier grad nicht hin)
[mm] \bruch{d(f1,f2)}{d(x,y,z,u)}*(x,y,z,u)
[/mm]
das ergibt folgendes:
[mm] \pmat{ 2xy^3*e^-z*u & 3y^2x^2*e^-z*u & -e^-z*u*x^2*y^3 & x^2*y^3*e^-z \\ z & u & x & y }
[/mm]
dann (1,-1,0,2) eingesetzt komme ich auf
[mm] \pmat{ -4 & 6 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -1}
[/mm]
dann bekomm ich das folgende gleichungssystem
I. -4(x-1)+6*(y+1)+2z-1*(u-z)=0
II. +2*(y+1)+1z-1*(u-z)=0
dann II - I
komm ich auf
z= +4x-4y-8
u=-10y+8x-14
also
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x}*(1,-1)=4
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1)=-10
[/mm]
Stimmt das soweit? Ich danke euch jetzt schonmal.
Find ich wirklich klasse, wie hier im Forum geholfen wird.
Besser als in vielen anderen Foren!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo inseljohn,
> Berechnen Sie für die Auflösung z(x,y) und u(x,y) des
> nichtlinearen Gleichungssystem [mm]x^2y^3*e^-z=-2,[/mm] xz+yu=-2 in
Schreibe hier die Exponenten in geschweiften Klammern:
x^{2}y^{3}*e^{-z}=-2
> der Umgebung der Stelle (x,y,z,u)=(1,-1,0,2) die partiellen
> Ableitungen [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}*(1,-1)[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1)[/mm]
> Hallo,
>
> habe mich vorhin mal an dieser Aufgabe versucht und
> folgendes dazu geschrieben: (es soll überall e hoch -z
> bedeuten. Irgendwie bekomm ich das hier grad nicht hin)
>
> [mm]\bruch{d(f1,f2)}{d(x,y,z,u)}*(x,y,z,u)[/mm]
>
> das ergibt folgendes:
>
> [mm]\pmat{ 2xy^3*e^-z*u & 3y^2x^2*e^-z*u & -e^-z*u*x^2*y^3 & x^2*y^3*e^-z \\ z & u & x
& y }[/mm]
Demnach muß
[mm]f_{1}\left(x,y,z,u\right)=x^2y^3*e^{-z}\blue{*u}+2[/mm]
sein.
>
> dann (1,-1,0,2) eingesetzt komme ich auf
>
> [mm]\pmat{ -4 & 6 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -1}[/mm]
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann bekomm ich das folgende gleichungssystem
>
> I. -4(x-1)+6*(y+1)+2z-1*(u-z)=0
> II. +2*(y+1)+1z-1*(u-z)=0
Hier hast Du die Tangentialebenen im genannten Punkt genommen.
Das ist leider nicht richtig.
Zur Bestimmung der partiellen Ableitungen, setze
[mm]z=z\left(x,y\right), \ u=u\left(x,y\right)[/mm]
und differenziere dann nach x und y.
Du erhältst ein Gleichungssystem zur Bestimmung der partiellen Ableitungen
[mm]\bruch{\partial z}{\partial x}, \ \bruch{\partial z}{\partial x}, \ \bruch{\partial u}{\partial x}, \ \bruch{\partial u}{\partial y}[/mm]
>
> dann II - I
>
> komm ich auf
>
> z= +4x-4y-8
> u=-10y+8x-14
>
> also
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}*(1,-1)=4[/mm]
> und
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1)=-10[/mm]
>
> Stimmt das soweit? Ich danke euch jetzt schonmal.
> Find ich wirklich klasse, wie hier im Forum geholfen
> wird.
> Besser als in vielen anderen Foren!
>
> LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Oh, du hast recht. f(1) habe ich das u vergessen. Danke dafür =)
Hmmm, ich hab mich eigentlich genau nach dem Beispiel gerichtet.
Dort haben Sie dann nachdem sie die Punkte eingesetzt haben, mit der Matrix das lineare Gleichungssystem aufgestellt. Dann II-I.
Muss mich aber auch korrigieren.
Hatte mich einmal für u verrechnet. Da müsste U=4x-2y-4 raus.
Womit dann [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1)=-2 [/mm] sein müsste.
Hab mich genau an die vorgehensweise gehalten.
Weiß jetzt ehrlich gesagt nicht ganz, was du damit meinst.
Das Wort Tangentialebenen habe ich noch nie gehört :/
wäre es eigeentlich hier im forum auch möglich bilder hochzuladen von den selbstgeschriebenen rechnungen? Das würde das gefummel mit dem Formeleditor nämlich erleichtern :)
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Hallo inseljohn,
> Oh, du hast recht. f(1) habe ich das u vergessen. Danke
> dafür =)
>
> Hmmm, ich hab mich eigentlich genau nach dem Beispiel
> gerichtet.
> Dort haben Sie dann nachdem sie die Punkte eingesetzt
> haben, mit der Matrix das lineare Gleichungssystem
> aufgestellt. Dann II-I.
>
> Muss mich aber auch korrigieren.
> Hatte mich einmal für u verrechnet. Da müsste U=4x-2y-4
> raus.
> Womit dann [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}*(1,-1)=-2[/mm] sein
> müsste.
Ok. [mm]u_{y}\left(1,-1\right)[/mm] stimmt.
>
> Hab mich genau an die vorgehensweise gehalten.
> Weiß jetzt ehrlich gesagt nicht ganz, was du damit
> meinst.
> Das Wort Tangentialebenen habe ich noch nie gehört :/
Die Tangentialebene ist das Taylorpolynom 1. Ordnung,
>
> wäre es eigeentlich hier im forum auch möglich bilder
> hochzuladen von den selbstgeschriebenen rechnungen? Das
> würde das gefummel mit dem Formeleditor nämlich
> erleichtern :)
Natürlich kannst Du Deine selbstgeschrieben Rechnungen hier hochladen.
Gruss
MathePower
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Das ist ja schön, dass das wenigstens stimmt.
Wenn u=4x-2y-4 stimmt, müsste dann nicht z=4x-4y-8 auch stimmen?
Habs jetzt fünf mal gerechnet und komm immer auf das gleiche.
Ohne das z wäre ich ja nicht auf das u gekommen. Zumindest nicht nach meiner Methode, bzw. die im Skript verwendet wird
Danke =)
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Hallo inseljohn,
> Das ist ja schön, dass das wenigstens stimmt.
> Wenn u=4x-2y-4 stimmt, müsste dann nicht z=4x-4y-8 auch
> stimmen?
> Habs jetzt fünf mal gerechnet und komm immer auf das
> gleiche.
> Ohne das z wäre ich ja nicht auf das u gekommen.
> Zumindest nicht nach meiner Methode, bzw. die im Skript
> verwendet wird
Poste mal die Methode, wie das im Skript gerechnet wurde.
>
> Danke =)
Gruss
MathePower
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Hey MathePower,
habe hier mal eine Beispielrechnung aus der Probeklausur hochgeladen.
Ich habe das quasi aus der Musterlösung abgeschrieben. Nur einige Sachen ein bisschen ausführlicher gemacht.
http://dream-hosting.de/image/images/klz1285424107j.JPG
http://dream-hosting.de/image/images/rgh1285424123o.JPG
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Hallo inseljohn,
> Hey MathePower,
>
> habe hier mal eine Beispielrechnung aus der Probeklausur
> hochgeladen.
> Ich habe das quasi aus der Musterlösung abgeschrieben.
> Nur einige Sachen ein bisschen ausführlicher gemacht.
>
> http://dream-hosting.de/image/images/klz1285424107j.JPG
> http://dream-hosting.de/image/images/rgh1285424123o.JPG
Ok, jetzt weiss wie as im Skript gemacht wurde.
Deine Funktionen u(x,y) und z(x,y) im vorletzten Post stimmen natürlich.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 So 26.09.2010 | | Autor: | inseljohn |
Super, dann vielen Dank! =)
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