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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Sind die Endomorphismen nilpotent?
1) [mm] \phi:V\to [/mm] V,
[mm] (v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{2})
[/mm]
2) [mm] \phi:V\to [/mm] V,
[mm] (v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(4v_{1}+2v_{2}-2v_{3},-4v_{1}-2v_{2}+2v_{3},3v_{1}+v_{2}-2v_{3}) [/mm] |
Hallo an alle,
ich weiß dass ein Endomorphismus nilpotent ist, wenn [mm] \phi^{m} [/mm] die Nullabbildung ist.
Ob eine Matrix nilpotent ist, kann ich ja einfach auspobieren, indem ich die Matrix so oft miteinander multipliziere, bis 0 rauskommt.
Bei den Endomorphismen hier verstehe ich jedoch nicht, wie ich [mm] \phi [/mm] mit sich selbst multiplizieren kann, ich kann mir unter der Abbildung nichts vorstellen.
Könnte mir das jemand bitte einmal mit einer der beiden Abbildungen zeigen?
Vielen Dank und viele Grüße, Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 17.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Paula!
> Sind die Endomorphismen nilpotent?
> 1) [mm]\phi:V\to[/mm] V,
>
> [mm](v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{2})[/mm]
> 2) [mm]\phi:V\to[/mm] V,
>
> [mm](v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(4v_{1}+2v_{2}-2v_{3},-4v_{1}-2v_{2}+2v_{3},3v_{1}+v_{2}-2v_{3})[/mm]
> Hallo an alle,
> ich weiß dass ein Endomorphismus nilpotent ist, wenn
> [mm]\phi^{m}[/mm] die Nullabbildung ist.
>
> Ob eine Matrix nilpotent ist, kann ich ja einfach
> auspobieren, indem ich die Matrix so oft miteinander
> multipliziere, bis 0 rauskommt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix musst du sogar hoechstens die $n$-te Potenz ausrechnen: entweder ist diese schon 0, oder die Matrix ist nicht nilpotent.
> Bei den Endomorphismen hier verstehe ich jedoch nicht, wie
> ich [mm]\phi[/mm] mit sich selbst multiplizieren kann, ich kann mir
> unter der Abbildung nichts vorstellen.
Nun, du kannst doch zu einem Endomorphismus eine Matrix aufstellen, indem du eine Basis waehlst (hier etwa die Standardeinheitsbasis). Dann hast du eine Matrix, und deren $k$-te Potenz ist die Matrizen der $k$-fachen Hintereinanderausfuehrung des Endomorphismus.
Sprich: der Endomorphismus ist nilpotent genau dann, wenn die Matrix nilpotent ist. Und wie man das bei der Matrix nachprueft, weisst du ja schon.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Nun, du kannst doch zu einem Endomorphismus eine Matrix
> aufstellen, indem du eine Basis waehlst (hier etwa die
> Standardeinheitsbasis). Dann hast du eine Matrix, und deren
> [mm]k[/mm]-te Potenz ist die Matrizen der [mm]k[/mm]-fachen
> Hintereinanderausfuehrung des Endomorphismus.
Sowas kann ich leider genau nicht :S da ich den Ausdruck [mm] (v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{2}) [/mm] nichtmal wirklich verstehe. Wie wähle ich denn eine Basis und wie erlange ich dadurch eine Basis?
Könnte mir einmal jemand zeigen, wie ich diese Matrix erstelle? Dann ist mir alles klar 
Vielen Dank, Paula
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Sei V ein 3-dim K-VR. Betrachte die Abbildung:
[mm]\phi:V\to V, (v_{1},v_{2},v_{3})\mapsto(v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{2}) [/mm]
Sie ordnet jedem Vektor [mm]u=(u_1,u_2,u_3)[/mm] den Vektor [mm]\phi(u_1,u_2,u_3)[/mm] zu.
Das kann man jetzt in die Matrizenschreibweise übersetzen:
Für eine Basis (hier die Standardbasis)
[mm]e_1=(1,0,0)[/mm]
[mm]e_2=(0,1,0)[/mm]
[mm]e_3=(0,0,1)[/mm]
ist das Bild
[mm]\phi(e_1)=(0,1,1)[/mm]
[mm]\phi(e_2)=(1,0,1)[/mm]
[mm]\phi(e_2)=(1,1,0)[/mm]
Damit weißst du:
Das die Matrix [mm]A=\pmat{| & | & |\\
\phi(e_1) & \phi(e_2) & \phi(e_3)\\
| & | & |}=\pmat{0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0}[/mm] die gleiche lin. Abbildung beschreibt. [mm]\phi(u)=A*u[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ein Endomorphismus ist genau dann nilpotent, wenn er nur den Eigenwert 0 hat
FRED
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