nilpotent Tensor < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Do 09.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, V,W K-Vektorräume und f [mm] \in End_{K}(V), [/mm] g [mm] \in End_{K}(W). [/mm] Angenommen f und g sind nilpoten.
Man beweise, dass f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g [mm] \in End_{K}(V \otimes_{K} [/mm] W) nilpotent ist. |
Hallo^^,
ich habe die Aufgabe schon ein Stückweit gerechnet, komme aber an einer Stelle nicht mehr weiter.
Da f und g nilpotent sind, existieren schon mal a,b [mm] \in \IN [/mm] derart, dass [mm] f^{a}=0 [/mm] und [mm] g^{b}=0. [/mm] Jetzt berechne ich
f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g( f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g)...( f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g)(V [mm] \otimes_{K} [/mm] W).
Dazu habe ich erstmal
( f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g)(V [mm] \otimes_{K} [/mm] W)=f(v) [mm] \otimes [/mm] w+v [mm] \otimes [/mm] g(w).
Dann habe ich hierauf nochmal f [mm] \otimes id_{W}+id_{v} \otimes [/mm] g angewendet und hatte zum Schluss
=f(f(v) [mm] \otimes [/mm] w+2*(f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w))+v [mm] \otimes [/mm] g(g(w)) raus.
Jetzt könnte ich das immer weiter so machen, da aber f und g nilpotent würde ich an eine Stelle kommen, sodass
f(f...(f(v)=0 und g(g(...(g(w))=0.
Das heißt das da oben ist
=0 [mm] \otimes [/mm] w+2*(f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w))+v [mm] \otimes [/mm] 0=2*(f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w))
Und ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 09.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien K ein Körper, V,W K-Vektorräume und f [mm]\in End_{K}(V),[/mm]
> g [mm]\in End_{K}(W).[/mm] Angenommen f und g sind nilpoten.
> Man beweise, dass f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm] g [mm]\in End_{K}(V \otimes_{K}[/mm]
> W) nilpotent ist.
>
> ich habe die Aufgabe schon ein Stückweit gerechnet, komme
> aber an einer Stelle nicht mehr weiter.
>
> Da f und g nilpotent sind, existieren schon mal a,b [mm]\in \IN[/mm]
> derart, dass [mm]f^{a}=0[/mm] und [mm]g^{b}=0.[/mm] Jetzt berechne ich
>
> f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm] g( f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm]
> g)...( f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm] g)(V [mm]\otimes_{K}[/mm]
> W).
>
> Dazu habe ich erstmal
> ( f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm] g)(V [mm]\otimes_{K}[/mm] W)=f(v)
> [mm]\otimes[/mm] w+v [mm]\otimes[/mm] g(w).
>
> Dann habe ich hierauf nochmal f [mm]\otimes id_{W}+id_{v} \otimes[/mm]
> g angewendet und hatte zum Schluss
>
> =f(f(v) [mm]\otimes[/mm] w+2*(f(v) [mm]\otimes[/mm] g(w))+v [mm]\otimes[/mm] g(g(w))
> raus.
>
> Jetzt könnte ich das immer weiter so machen, da aber f und
> g nilpotent würde ich an eine Stelle kommen, sodass
>
> f(f...(f(v)=0 und g(g(...(g(w))=0.
> Das heißt das da oben ist
>
> =0 [mm]\otimes[/mm] w+2*(f(v) [mm]\otimes[/mm] g(w))+v [mm]\otimes[/mm] 0=2*(f(v)
> [mm]\otimes[/mm] g(w))
>
> Und ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen
> soll.
Mach das doch ein wenig abstrakter. Sei $U := V [mm] \otimes_K [/mm] W$, [mm] $\varphi [/mm] := f [mm] \otimes_K id_W$, $\psi [/mm] := [mm] id_V \otimes_K [/mm] g$. Dann gilt [mm] $\varphi \circ \psi [/mm] = [mm] \psi \circ \varphi$, [/mm] und deswegen folgt [mm] $(\varphi [/mm] + [mm] \psi)^n [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \varphi^i \psi^{n-i}$.
[/mm]
Jetzt musst du dir ueberlegen, dass fuer $n$ gross genug (sagen wir mal $n > a + b$) gilt [mm] $\varphi^i \psi^{n-i}(u) [/mm] = 0$ fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$. Dafuer wiederum kannst du ohne Einschraenkung $u = v [mm] \otimes_K [/mm] w$ nehmen mit $v [mm] \in [/mm] V, w [mm] \in [/mm] W$ (da diese ein Erzeugendensystem von $U$ bilden). Mit diesem speziellen $u$ kannst du das ganze sehr einfach ausrechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 10.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Felix,
vielen Dank erstmal,
> Mach das doch ein wenig abstrakter. Sei [mm]U := V \otimes_K W[/mm],
> [mm]\varphi := f \otimes_K id_W[/mm], [mm]\psi := id_V \otimes_K g[/mm]. Dann
Die Gleichheit [mm] \varphi \circ \psi [/mm] = [mm] \psi \circ \varphi [/mm] ist mir nicht ganz klar.Es gilt doch: [mm] \varphi \circ \psi=(f \otimes id_{W}) \circ (id_{V} \otimes [/mm] g)=f [mm] \circ id_{V} \otimes id_{W} \circ [/mm] g. Und
[mm] \psi \circ \varphi=(id_{V} \otimes [/mm] d) [mm] \circ [/mm] (f [mm] \otimes id_{W})=id_{V} \circ [/mm] f [mm] \otimes [/mm] g [mm] \circ id_{w}. [/mm] Aber es muss doch nicht z.B. [mm] id_{V} \circ [/mm] f=f [mm] \circ id_{V} [/mm] sein. ?
> gilt [mm]\varphi \circ \psi = \psi \circ \varphi[/mm], und deswegen
> folgt [mm](\varphi + \psi)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \varphi^i \psi^{n-i}[/mm].
>
Ok, das ist klar.
> Jetzt musst du dir ueberlegen, dass fuer [mm]n[/mm] gross genug
> (sagen wir mal [mm]n > a + b[/mm]) gilt [mm]\varphi^i \psi^{n-i}(u) = 0[/mm]
> fuer alle [mm]u \in U[/mm]. Dafuer wiederum kannst du ohne
> Einschraenkung [mm]u = v \otimes_K w[/mm] nehmen mit [mm]v \in V, w \in W[/mm]
> (da diese ein Erzeugendensystem von [mm]U[/mm] bilden). Mit diesem
> speziellen [mm]u[/mm] kannst du das ganze sehr einfach ausrechnen.
Ich hab es ausgerechnet und bin auf 0 gekommen, wäre aber besser wenn du nochmal drüberschaust:
[mm] \varphi^{i}*\psi^{n-i}(u)=\varphi^{i}*\psi^{n-i}(u \otimes w)=\varphi^{i} \circ \psi^{n-i}(v \otimes w)=\varphi^{i}(\psi^{n-i}(v \otimes w))=\varphi^{i}(id_{v} \otimes [/mm] g(v [mm] \otimes w))=\varphi^{i}(id_{v}^{n-i} \otimes g(w)^{n-i})=\varphi(v^{n-i} \otimes g(w)^{n-i})=\varphi^{i}(v^{n-i} \otimes [/mm] 0) (für n [mm] \ge [/mm] b+i) =(f [mm] \otimes id_{w})^{i}*(v^{n-i} \otimes 0)=f^{i}(v^{n-i}) \otimes id_{w}^{i}(0)= [/mm] 0 [mm] \otimes [/mm] 0=0 (da f nilpotent ist).
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 10.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank erstmal,
>
> > Mach das doch ein wenig abstrakter. Sei [mm]U := V \otimes_K W[/mm],
> > [mm]\varphi := f \otimes_K id_W[/mm], [mm]\psi := id_V \otimes_K g[/mm]. Dann
>
> Die Gleichheit [mm]\varphi \circ \psi[/mm] = [mm]\psi \circ \varphi[/mm] ist
> mir nicht ganz klar.Es gilt doch: [mm]\varphi \circ \psi=(f \otimes id_{W}) \circ (id_{V} \otimes[/mm]
> g)=f [mm]\circ id_{V} \otimes id_{W} \circ[/mm] g. Und
> [mm]\psi \circ \varphi=(id_{V} \otimes[/mm] d) [mm]\circ[/mm] (f [mm]\otimes id_{W})=id_{V} \circ[/mm]
> f [mm]\otimes[/mm] g [mm]\circ id_{w}.[/mm] Aber es muss doch nicht z.B.
> [mm]id_{V} \circ[/mm] f=f [mm]\circ id_{V}[/mm] sein. ?
Aber sicher doch 
Es ist doch [mm] $id_{V} \circ [/mm] f=f $ und [mm] $f\circ id_{V} [/mm] = f$ .
>
>
> > gilt [mm]\varphi \circ \psi = \psi \circ \varphi[/mm], und deswegen
> > folgt [mm](\varphi + \psi)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \varphi^i \psi^{n-i}[/mm].
>
> >
> Ok, das ist klar.
> > Jetzt musst du dir ueberlegen, dass fuer [mm]n[/mm] gross genug
> > (sagen wir mal [mm]n > a + b[/mm]) gilt [mm]\varphi^i \psi^{n-i}(u) = 0[/mm]
> > fuer alle [mm]u \in U[/mm]. Dafuer wiederum kannst du ohne
> > Einschraenkung [mm]u = v \otimes_K w[/mm] nehmen mit [mm]v \in V, w \in W[/mm]
> > (da diese ein Erzeugendensystem von [mm]U[/mm] bilden). Mit diesem
> > speziellen [mm]u[/mm] kannst du das ganze sehr einfach ausrechnen.
>
> Ich hab es ausgerechnet und bin auf 0 gekommen, wäre aber
> besser wenn du nochmal drüberschaust:
>
> [mm]\varphi^{i}*\psi^{n-i}(u)=\varphi^{i}*\psi^{n-i}(u \otimes w)=\varphi^{i} \circ \psi^{n-i}(v \otimes w)=\varphi^{i}(\psi^{n-i}(v \otimes w))=\varphi^{i}(id_{v} \otimes[/mm]
> g(v [mm]\otimes w))=\varphi^{i}(id_{v}^{n-i} \otimes g(w)^{n-i})=\varphi(v^{n-i} \otimes g(w)^{n-i})=\varphi^{i}(v^{n-i} \otimes[/mm]
> 0) (für n [mm]\ge[/mm] b+i) =(f [mm]\otimes id_{w})^{i}*(v^{n-i} \otimes 0)=f^{i}(v^{n-i}) \otimes id_{w}^{i}(0)=[/mm]
> 0 [mm]\otimes[/mm] 0=0 (da f nilpotent ist).
>
> Stimmt das so?
Mit scheint, da hast du ein paar Dinge nicht ganz richtig angewendet. Was soll denn [mm] $v^{n-i}$ [/mm] sein? Und [mm] $g(w)^{n-i}$?
[/mm]
Also mal Schritt für Schritt: mit $u = v [mm] \otimes_K [/mm] w$ ist
[mm] \varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = \varphi^{i}\circ\psi^{n-i}(v \otimes_K w) [/mm] .
Nun ist [mm] $\psi =id_V \otimes_K [/mm] g$, also ist [mm] $\psi(v \otimes_K [/mm] w) = [mm] id_V(v) \otimes [/mm] g(w) = v [mm] \otimes [/mm] g(w) $ . Wenn ich also [mm] $\psi$ [/mm] $(n-i)$-mal anwende, habe ich
[mm] \psi^{n-i}(v \otimes_K w) = v \otimes g^{n-i}(w) [/mm] .
Zusammen:
[mm] \varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = \varphi^{i}(v \otimes g^{n-i}(w)) [/mm] ,
Jetzt setzt du genauso [mm] $\varphi$ [/mm] ein. Mit der Abkürzung [mm] $x:=g^{n-i}(w)$ [/mm] ist
[mm] \varphi(v \otimes x) = f (v) \otimes id_W(x) = f^i (v) \otimes x[/mm], zusammen
[mm] \varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = f^i (v) \otimes g^{n-i}(w) [/mm] .
Nun ist [mm] $g^{n-i}(w)=0$ [/mm] für $n-i [mm] \ge [/mm] b$ und [mm] $f^i [/mm] (v)=0$ für i [mm] \ge [/mm] a .
Wenn wir $n>a+b$ annehmen, ist
(1) für [mm] $i\ge [/mm] a$: [mm] $\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) =f^i [/mm] (v) [mm] \otimes [/mm] 0 = 0$,
(2) für [mm] $i
zusammen: [mm] \varphi^{i}\psi^{n-i}(u) [/mm] = 0$ für $n>a+b$ .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS,
> > f [mm]\otimes[/mm] g [mm]\circ id_{w}.[/mm] Aber es muss doch nicht z.B.
> > [mm]id_{V} \circ[/mm] f=f [mm]\circ id_{V}[/mm] sein. ?
>
> Aber sicher doch
>
> Es ist doch [mm]id_{V} \circ f=f[/mm] und [mm]f\circ id_{V} = f[/mm] .
>
Ohhh, wie doof. Ja natürlich gilt das.
> Mit scheint, da hast du ein paar Dinge nicht ganz richtig
> angewendet. Was soll denn [mm]v^{n-i}[/mm] sein? Und [mm]g(w)^{n-i}[/mm]?
>
Zugegeben,ich habs etwas unsauber aufgeschreiben.
Ich meinte [mm] v^{n-i}=id_{v}^{n-i}(v) [/mm] und [mm] g(w)^{n-i}=g^{n-i}(w).
[/mm]
> Also mal Schritt für Schritt: mit [mm]u = v \otimes_K w[/mm] ist
>
> [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = \varphi^{i}\circ\psi^{n-i}(v \otimes_K w)[/mm]
> .
>
> Nun ist [mm]\psi =id_V \otimes_K g[/mm], also ist [mm]\psi(v \otimes_K w) = id_V(v) \otimes g(w) = v \otimes g(w)[/mm]
> . Wenn ich also [mm]\psi[/mm] [mm](n-i)[/mm]-mal anwende, habe ich
>
> [mm]\psi^{n-i}(v \otimes_K w) = v \otimes g^{n-i}(w)[/mm] .
>
> Zusammen:
>
> [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = \varphi^{i}(v \otimes g^{n-i}(w))[/mm]
> ,
>
> Jetzt setzt du genauso [mm]\varphi[/mm] ein. Mit der Abkürzung
> [mm]x:=g^{n-i}(w)[/mm] ist
>
> [mm]\varphi(v \otimes x) = f (v) \otimes id_W(x) = f^i (v) \otimes x[/mm],
> zusammen
>
> [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = f^i (v) \otimes g^{n-i}(w)[/mm] .
So hatte ich mir das bis hierhin auch überlegt.
> Nun ist [mm]g^{n-i}(w)=0[/mm] für [mm]n-i \ge b[/mm] und [mm]f^i (v)=0[/mm] für i
> [mm]\ge[/mm] a .
>
> Wenn wir [mm]n>a+b[/mm] annehmen, ist
> (1) für [mm]i\ge a[/mm]: [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) =f^i (v) \otimes 0 = 0[/mm],
> (2) für [mm]in-a >b [/mm]; [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u) = 0\otimes g^{n-i}(w) = 0[/mm],
>
> zusammen: [mm]\varphi^{i}\psi^{n-i}(u)[/mm] = 0$ für $n>a+b$ .
Ok,alles klar. Danke für die Korrektur.
lg
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