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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Es sei A eine n x n Matrix und r [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] A^{r} [/mm] = 0 und [mm] A^{r-1} \not= [/mm] 0
Dabei sei [mm] A^{0} [/mm] = [mm] E_{n}.
[/mm]
a) Welche Eigenwerte hat A? Beweisen Sie ihre Antwort. Geben Sie dabei auch an, wie man (in Abhängigkeit von A und r) einen zugehörigen Eigenvektor bestimmen kann.
b) Unter welchen Bedingungen ist A diagonalisierbar? |
Hallo,
ich hänge an dieser wunderbaren Aufgabe fest. Ich habe schon gezeigt, dass 0 der Eigenwert ist. Aber das mit dem Eigenvektor krieg ich nich hin. Da fehlt mir der Ansatz.
Zur b hab ich jetzt auch keine Idee. Wenn mir jemand da einen Tipp geben könnte, wäre das toll.
Viele Grüße und Danke schonmal
Kerstin
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> Es sei A eine n x n Matrix und r [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]A^{r}[/mm] = 0 und
> [mm]A^{r-1} \not=[/mm] 0
> Dabei sei [mm]A^{0}[/mm] = [mm]E_{n}.[/mm]
> a) Welche Eigenwerte hat A? Beweisen Sie ihre Antwort.
> Geben Sie dabei auch an, wie man (in Abhängigkeit von A
> und r) einen zugehörigen Eigenvektor bestimmen kann.
>
> b) Unter welchen Bedingungen ist A diagonalisierbar?
Es gibt nur eine ganz triviale Matrix mit dieser Eigenschaft.
>
> Hallo,
>
> ich hänge an dieser wunderbaren Aufgabe fest. Ich habe
> schon gezeigt, dass 0 der Eigenwert ist. Aber das mit dem
> Eigenvektor krieg ich nich hin. Da fehlt mir der Ansatz.
> Zur b hab ich jetzt auch keine Idee. Wenn mir jemand da
> einen Tipp geben könnte, wäre das toll.
>
> Viele Grüße und Danke schonmal
> Kerstin
Du weiß, dass gilt
[mm] $Ax=\lambda [/mm] x= [mm] 0\cdot [/mm] x$
[mm] $A^2x=\lambda^2 x=0^2 [/mm] x$
und die Eigenvektoren berechnest du ja mit
[mm] $(A-\lambda [/mm] E )x=0$
also
$Ax=0$
hilf dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke schonmal für deine Antwort,
also die triviale wäre dann wohl die 0-Matrix, aber wie kann man das denn begründen?
Ax= 0 hatt ich hier sogar stehen :) aber ich wußt nich was ich damit anfangen kann, deshalb hab ich den Ansatz wieder verworfen. wie komme ich denn so auf die Vektoren bzw. den Vektor?
LG
Kerstin
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> Danke schonmal für deine Antwort,
>
> also die triviale wäre dann wohl die 0-Matrix, aber wie
> kann man das denn begründen?
>
> Ax= 0 hatt ich hier sogar stehen :) aber ich wußt nich was
> ich damit anfangen kann, deshalb hab ich den Ansatz wieder
> verworfen. wie komme ich denn so auf die Vektoren bzw. den
> Vektor?
>
> LG
> Kerstin
Hallo zusammen,
also Ax=0 bedeutet, dass du Vektoren x suchen musst, die mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben. Du kannst theoretisch einen allgemeinen Vektor aufstellen und so ein Gleichungssystem mit n Unbekannten (die Einträge des Vektors) und n Gleichungen (jede Zeile mit dem Vektor multipliziert) aufstellen und dieses dann lösen. Dies ist bei kleinem n (z.b. n=2 oder 3) noch recht unproblematisch, bei größerem jedoch sehr rechen- und zeitaufwändig.
Bei nilpotenten Matrizen, wie es hier der Fall ist, empfiehlt sich auch eine andere Methode. Außerdem ist in der Aufgabenstellung die Rede von "in Abhängigkeit von A und r", was ebenfalls dafür spricht. Voraussetzung für die tatsächliche konkrete Berechnung von EV´s ist hierbei aber eben, dass natürlich A und auch r bekannt ist. Ganz allgemein lässt sich die Frage aber auch so beantworten. Wegen [mm] A^{r}=0 [/mm] gilt [mm] A*A^{r-1}=0. [/mm] Mit und [mm] A^{r-1}\not=0 [/mm] hast du deine EV´s gefunden! Die Eigenvektoren sind die Spalten von [mm] A^{r-1}.
[/mm]
Also, lange Rede kurzer Sinn: Die Eigenvektoren einer nilpotenten Matrix A mit [mm] A^{r}=0 [/mm] sind die Spalten von [mm] A^{r-1} [/mm] .
Ich hoffe dir damit weitergeholfen zu haben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Wow,
ja jetzt ist die Sache klar :) ich hab die komplizierte Variante versucht :D
Danke danke danke
LG
Kerstin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Danke schonmal für deine Antwort,
> >
> > also die triviale wäre dann wohl die 0-Matrix, aber wie
> > kann man das denn begründen?
> >
> > Ax= 0 hatt ich hier sogar stehen :) aber ich wußt nich was
> > ich damit anfangen kann, deshalb hab ich den Ansatz wieder
> > verworfen. wie komme ich denn so auf die Vektoren bzw. den
> > Vektor?
> >
> > LG
> > Kerstin
>
>
> Hallo zusammen,
>
> also Ax=0 bedeutet, dass du Vektoren x suchen musst, die
> mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben. Du
> kannst theoretisch einen allgemeinen Vektor aufstellen und
> so ein Gleichungssystem mit n Unbekannten (die Einträge
> des Vektors) und n Gleichungen (jede Zeile mit dem Vektor
> multipliziert) aufstellen und dieses dann lösen. Dies ist
> bei kleinem n (z.b. n=2 oder 3) noch recht unproblematisch,
> bei größerem jedoch sehr rechen- und zeitaufwändig.
> Bei nilpotenten Matrizen, wie es hier der Fall ist,
> empfiehlt sich auch eine andere Methode. Außerdem ist in
> der Aufgabenstellung die Rede von "in Abhängigkeit von A
> und r", was ebenfalls dafür spricht. Voraussetzung für
> die tatsächliche konkrete Berechnung von EV´s ist hierbei
> aber eben, dass natürlich A und auch r bekannt ist. Ganz
> allgemein lässt sich die Frage aber auch so beantworten.
> Wegen [mm]A^{r}=0[/mm] gilt [mm]A*A^{r-1}=0.[/mm] Mit und [mm]A^{r-1}\not=0[/mm] hast
> du deine EV´s gefunden! Die Eigenvektoren sind die Spalten
> von [mm]A^{r-1}.[/mm]
> Also, lange Rede kurzer Sinn: Die Eigenvektoren einer
> nilpotenten Matrix A mit [mm]A^{r}=0[/mm] sind die Spalten von
> [mm]A^{r-1}[/mm] .
Das stimmt doch nicht !!!
Wir nehmen
$A:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Dann ist [mm] A^2=0, [/mm] also r=2
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist Spalte von [mm] A^{r-1} [/mm] und EV von A, soweit stimmts noch.
Aber:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist EV von A , aber keine Spalte von [mm] A^{r-1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist eine Spalte von [mm] A^{r-1}, [/mm] aber kein EV von A.
FRED
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> Ich hoffe dir damit weitergeholfen zu haben!
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