nilpotenter Endomorphismus < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 14.07.2009 | | Autor: | Unk |
Sei f ein nilpotenter Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraums
V. Sei v [mm] $\in [/mm] V.$ Es gelte: Der einzige $f-$invariante Unterraum
U von V mit [mm] $v\in [/mm] U$ ist V selbst.
Zeigen Sie: [mm] $\exists$Basis $\mathcal{B}$ [/mm] von $V,$ sodass für die
Darstellungsmatrix [mm] $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)$ [/mm] gilt: [mm] $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)=J,$
[/mm]
wobei $J$ der Jordanblock (als [mm] n$\times [/mm] n$ Matrix) zum Eigenwert
0 sein [mm] soll.\\
[/mm]
Hallo,
es gibt also irgendein [mm] $t\in\mathbb{N},$ [/mm] sodass [mm] $f^{t}=0$ [/mm] ist. Außerdem
[mm] $f(V)\subset [/mm] V$, was sowieso schon klar war, da f ein Endomorphismus
ist.
Meine Darstellungsmatrix bzgl. der gewählten Basis darf doch nun nur
den Eigenwert 0 haben. Weiterhin müsste mein Minimalpolynom [mm] $T^{n}$
[/mm]
sein.
Kommt man damit irgendwie an die geforderte Basis? Ich muss ja nur
zeigen, dass es so eine gibt. Muss ich sie dazu angeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 Mi 15.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f ein nilpotenter Endomorphismus eines n-dimensionalen
> Vektorraums
> V. Sei v [mm]\in V.[/mm] Es gelte: Der einzige [mm]f-[/mm]invariante
> Unterraum
> U von V mit [mm]v\in U[/mm] ist V selbst.
>
> Zeigen Sie: [mm]\exists[/mm]Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]V,[/mm] sodass für
> die
> Darstellungsmatrix [mm]M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)[/mm] gilt:
> [mm]M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)=J,[/mm]
> wobei [mm]J[/mm] der Jordanblock (als n[mm]\times n[/mm] Matrix) zum
> Eigenwert
> 0 sein [mm]soll.\\[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> es gibt also irgendein [mm]t\in\mathbb{N},[/mm] sodass [mm]f^{t}=0[/mm] ist.
> Außerdem
> [mm]f(V)\subset V[/mm], was sowieso schon klar war, da f ein
> Endomorphismus
> ist.
Ja.
> Meine Darstellungsmatrix bzgl. der gewählten Basis darf
> doch nun nur
> den Eigenwert 0 haben.
Ja.
> Weiterhin müsste mein
> Minimalpolynom [mm]T^{n}[/mm]
> sein.
Wieso? Das ist schon so, aber das muss man noch begruenden.
Du weisst allerdings dass das charakteristische Polynom [mm] $T^n$ [/mm] ist, dass also [mm] $f^n [/mm] = 0$ gilt.
> Kommt man damit irgendwie an die geforderte Basis? Ich muss
> ja nur
> zeigen, dass es so eine gibt. Muss ich sie dazu angeben?
Fangen wir doch mal mit $v$ an. Der kleinste $f$-invariante UVR von $V$, der $v$ enthaelt, ist $V$ selber.
Gleichzeitig ist der kleinste $f$-invariante UVR von $V$ gegeben durch [mm] $\langle [/mm] v, f(v), [mm] f^2(v), \dots, f^{n-1}(v) \rangle$. [/mm] Dies muss $V$ sein, und da $n = [mm] \dim [/mm] V$ folgt, dass $v, f(v), [mm] f^2(v), \dots, f^{n-1}(v)$ [/mm] eine Basis von $v$ ist. Definiere [mm] $v_i [/mm] := [mm] f^i(v)$ [/mm] mit [mm] $v_0 [/mm] := v$; dann gilt [mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] v_{i+1}$, [/mm] $i < n - 1$ und [mm] $f(v_{n-1}) [/mm] = [mm] f^n(v) [/mm] = 0(v) = 0$.
Wie sieht also die Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. dieser Basis aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 16.07.2009 | | Autor: | Unk |
Moment, jetzt glaube ich habe ich gerade einen Hänger. Dann schmeißt
$f$ doch den ersten Basisvektor auf den zweiten usw., dann erhalte
ich aber die Matrix [mm] $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ \mbox{im Fall $n=3,$}[/mm] ich soll doch aber [mm] $\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ [/mm] erhalten. Müssten dann nicht [mm] $f(v_{i})=v_{i-1}$ [/mm] sein? Oder verstehe
ich etwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:40 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Moment, jetzt glaube ich habe ich gerade einen Hänger.
> Dann schmeißt
> [mm]f[/mm] doch den ersten Basisvektor auf den zweiten usw., dann
> erhalte
> ich aber die Matrix [mm]$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ \mbox{im Fall $n=3,$}[/mm]
> ich soll doch aber [mm]$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}$[/mm]
> erhalten. Müssten dann nicht [mm]$f(v_{i})=v_{i-1}$[/mm] sein?
Ja.
LG Felix
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