noch ein Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mo 16.11.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Entscheide, ob die Folge konvergiert:
[mm] a_n=(\bruch{12+5i}{13})^n [/mm] |
Hallo,
hier mein Lösungsversuch:
[mm] \IC [/mm] ist vollständig, also ist das Cauchy-Krit. äquivalent zur Konvergenz.
[mm] \underline{Beh.:} [/mm] Die Folge ist divergent.
[mm] \underline{Bew.:} [/mm] Man zeigt, dass die Verneinung des Cauchy-Krit. stimmt, also dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, zu dem es für alle N [mm] \in \IN [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N gibt, sodass [mm] |a_n-a_m| \ge \varepsilon
[/mm]
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{5}{13}, [/mm] n=N und m=N+1. DAnn gilt:
[mm] |a_n-a_m|= |(\bruch{12+5i}{13})^N-(\bruch{12+5i}{13})^{N+1}| [/mm] = [mm] |(\bruch{12+5i}{13})^N*(1-\bruch{12+5i}{13})|=|\bruch{12+5i}{13}|^N*|1-\bruch{12+5i}{13}|=1^N*\wurzel{\bruch{1}{13^2}+\bruch{25}{13^2}}=\bruch{\wurzel{26}}{13}\ge\bruch{5}{13}=\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Es wäre schön, wenn jemand kundiges mal meinen Beweis prüfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Gut gemacht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | horus00 |
Hab mir um Verständnis zu erlangen diesen Beweis angeschaut.
Kann mir jemand die folgenden Rechenschritte mit kleinen Hinweisen erklären??
Letzte Zeile 1.Term zum 2.Term?
[mm] |(\bruch{12+5i}{13})^N-(\bruch{12+5i}{13})^{N+1}|=|(\bruch{12+5i}{13})^N*(1-\bruch{12+5i}{13})|
[/mm]
Der Schritt ist mir unklar. N ist doch eine Variable wie bei [mm] {x}^a?
[/mm]
und 3.Term zum 4.Term?
[mm] |\bruch{12+5i}{13}|^N*|1-\bruch{12+5i}{13}|=1^N*\wurzel{\bruch{1}{13^2}+\bruch{25}{13^2}}
[/mm]
Hier ist die Wurzel klar, wg Betrag komplexer Zahl. aber die [mm] {1}^N?
[/mm]
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Hallo horus00,
> Hab mir um Verständnis zu erlangen diesen Beweis
> angeschaut.
>
> Kann mir jemand die folgenden Rechenschritte mit kleinen
> Hinweisen erklären??
>
> Letzte Zeile 1.Term zum 2.Term?
>
> [mm]|(\bruch{12+5i}{13})^N-(\bruch{12+5i}{13})^{N+1}|=|(\bruch{12+5i}{13})^N*(1-\bruch{12+5i}{13})|[/mm]
>
> Der Schritt ist mir unklar. N ist doch eine Variable wie
> bei [mm]{x}^a?[/mm]
$N$ ist eine natürliche Zahl, es wird schlicht [mm] $(...)^N$ [/mm] ausgeklammert!
>
>
> und 3.Term zum 4.Term?
>
> [mm]|\bruch{12+5i}{13}|^N*|1-\bruch{12+5i}{13}|=1^N*\wurzel{\bruch{1}{13^2}+\bruch{25}{13^2}}[/mm]
>
> Hier ist die Wurzel klar, wg Betrag komplexer Zahl. aber
> die [mm]{1}^N?[/mm]
Na, berechne doch mal [mm] $\left|\bruch{12+5i}{13}\right|$
[/mm]
Das dann "hoch" N ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Di 17.11.2009 | | Autor: | horus00 |
OK. verstanden
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