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Hallo!
Ich habe immer bei den letzten Schritten einen Hänger, helft ihr mir auf die Sprünge?
[mm] 4^{n} \ge n^{2} +3^{n}
[/mm]
Ich poste nun nur meinen Schluss, der rest ist klar:
[mm] 4^{n+1} \ge (n+1)^{2} [/mm] + [mm] 3^{n+1}
[/mm]
ergibt:
4* [mm] 4^{n} \ge n^{2} [/mm] +2n+1+3* [mm] 3^{n}
[/mm]
Dann habe ich umgestellt:
4* [mm] 4^{n} \ge n^{2}+ 3^{n}*3+2n+1
[/mm]
So ab [mm] 4^{n} [/mm] kann ich ja dann die Induktionsannahme verwenden.
Bloß stört mich die 4 davor und auf der linken Seite die 2n+1, die ich da ja nicht einbinden kann.
Und ich weiß nicht wie ich nun also den letzten Schritt zu zeigen habe?
Vielen lieben Dank :0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 25.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo rotespinne!
Keine Ahnung, ob das hilft, aber vielleicht geht es so:
> [mm]4^{n} \ge n^{2} +3^{n}[/mm]
>
> Ich poste nun nur meinen Schluss, der rest ist klar:
> [mm]4^{n+1} \ge (n+1)^{2}[/mm] + [mm]3^{n+1}[/mm]
>
> ergibt:
>
> 4* [mm]4^{n} \ge n^{2}[/mm] +2n+1+3* [mm]3^{n}[/mm]
>
> Dann habe ich umgestellt:
>
> 4* [mm]4^{n} \ge n^{2}+ 3^{n}*3+2n+1[/mm]
>
> So ab [mm]4^{n}[/mm] kann ich ja dann die Induktionsannahme
> verwenden.
>
> Bloß stört mich die 4 davor und auf der linken Seite die
> 2n+1, die ich da ja nicht einbinden kann.
>
> Und ich weiß nicht wie ich nun also den letzten Schritt zu
> zeigen habe?
Nach Induktionsvoraussetzung gilt doch:
[mm] 4*4^n\ge 4(n^2+3^n)=4n^2+4*3^n
[/mm]
Nun gilt offensichtlich: [mm] 4*3^n\ge 3*3^n
[/mm]
es bliebe also noch zu zeigen: [mm] 4n^2\ge n^2+2n+1
[/mm]
Das scheint zu stimmen - müsste man dann wohl auch noch mit Induktion zeigen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane :0)
danke für die Rückmeldung, versuche es dann gleich mit der 2. Induktion weiter :0)
Und auch bei der nächsten gibt es ein Problem:
[mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!}+....+ \bruch{1}{n!} [/mm] < 2
Beim Schluss komme ich hier auch nicht auf einen grünen Zweig.
[mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] +.... [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] < 2
= [mm] \bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+...+ \bruch{1}{(n+1)*n!} [/mm] < 2
Jetzt wollte ich mit (n+1) multiplizieren um die Annahme verwenden zu können.
Aber das klappt ja nicht da ich dann auch [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] usw mit dem faktor multiplizieren müsste.
Aber einen anderen Ansatz finde ich zu dieser Aufgabe gar nicht :(
Und noch eine allgemeine Frage:
wie löse ich denn [mm] (n+1)^{7} [/mm] auf? Da steh ich grad etwas aufm Schlauch? :(
Danke ihr Lieben
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Du brauchst keine 2. Induktion!
[mm] 4^{n+1}=4\cdot{}4^n\ge 4\cdot{}n^2+4\cdot{}3^n
[/mm]
[mm] \ge n^2+2n^2+n^2+3^{n+1}\ge n^2 [/mm] + 2n +1 + [mm] 3^{n+1}
[/mm]
[mm] =(n+1)^2+3^{n+1}
[/mm]
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt sicher: [mm] n^2\ge [/mm] n und [mm] n^2\ge [/mm] 1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
> Hallo Bastiane :0)
>
> danke für die Rückmeldung, versuche es dann gleich mit der
> 2. Induktion weiter :0)
>
> Und auch bei der nächsten gibt es ein Problem:
>
> [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!}+....+ \bruch{1}{n!}[/mm] < 2
>
> Beim Schluss komme ich hier auch nicht auf einen grünen
> Zweig.
> [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] +.... [mm]\bruch{1}{(n+1)!}[/mm] <
> 2
>
> = [mm]\bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+...+ \bruch{1}{(n+1)*n!}[/mm] <
> 2
In einem anderen thread hattest du danach schon gefragt!
Ich hatte dir dort schon gesagt, dass da schlecht oder nicht mit Induktion geht, wenn rechts kein n steht. also beweis dass
[mm] $\bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+...+ \bruch{1}{(n+1)*n!} [/mm] < [mm] 2-\bruch{1}{n}$ [/mm] ist.
Und zwar addier links und rechts zu der Ind. vors. bruch{1}{(n+1)!} um mit dem Beweis anzufangen.
Lies evt. noch mal den alten thread!
> Jetzt wollte ich mit (n+1) multiplizieren um die Annahme
> verwenden zu können.
Das ist sicher schlecht, warum denn multiplizieren? es kommt doch nur ein weiterer Summand dazu!
> wie löse ich denn [mm](n+1)^{7}[/mm] auf? Da steh ich grad etwas
> aufm Schlauch? :(
Es gibt den Binomial formel, wenn du sie vergessen hast guck in ner Formelammlung!
Gruss leduart
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Hallo rotespinne!
Das geht schon auch mit Induktion, aber nicht direkt. Du solltest ja zeigen, dass $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] < 2 $ ist. Für $ n=1 $ ist dies klar, für $ n [mm] \ge [/mm] 2 $ ist es äquivalent zu $ [mm] \summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] < 1 $. Von der Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{2^{k-1}}$ [/mm] weißt du, dass die Summe gleich 1 ist (geom. Reihe!), insbesondere ist jede Partialsumme echt kleiner als 1 (weil immer noch positive Glieder dazuaddiert werden und die Summe kleiner gleich 1 bleibt, bzw. weil du von den Partialsummen sogar die Summenformel kennst). Nun ist aber jeweils $ [mm] \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] $ für $k [mm] \ge [/mm] 2$, wie man leicht durch Induktion zeigen kann, also [mm] $\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k!} \le \summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] < 1$. Damit ist der Beweis fertig.
Liebe Grüße
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