normalparabel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 03.10.2012 | | Autor: | pls55 |
wie kann man zu verschobenen normalparabeln die funktionsvorschrift in scheitelpunktform darstellen? also ich habe das so gemacht:(x+2)²+1 und scheitelpunkt ; f(x)=(x-2)²+1 is das richtig? und wie geht das umgekehrt? ich denke so: s(2/4) f(x)=(x-2)²+4
habe ich das richtig gemacht?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wie kann man zu verschobenen normalparabeln die
> funktionsvorschrift in scheitelpunktform darstellen? also
> ich habe das so gemacht:(x+2)²+1 und scheitelpunkt ;
> f(x)=(x-2)²+1 is das richtig?
was ist hier die Frage? Da stehen zwei verschiedene
Funktionsgleichungen:
Die erste
[mm] $$f(x)=(x+2)^2+1$$
[/mm]
beschreibt eine Parabel mit Scheitelpunkt [mm] $S(-2/1)\,,$
[/mm]
die zweite
[mm] $$f(x)=(x-2)^2+1$$
[/mm]
eine mit Scheitelpunkt [mm] $S(2/1)\,.$ [/mm] Deswegen würdest Du die auch
besser nicht beide [mm] $f\,$ [/mm] nennen...
> und wie geht das umgekehrt?
> ich denke so: s(2/4) f(x)=(x-2)²+4
Wenn hier die Frage ist, wie man eine Normalparabel mit Scheitelpunkt
[mm] $S(2/4)\,$ [/mm] mithilfe einer Funktionsgleichung beschreibt: Ja.
Allgemeiner: Ich nehme an, ihr versteht unter "(verschobener)
Normalparabel" den Graphen einer Funktion der Bauart
[mm] $$f(x)=x^2+bx+c$$
[/mm]
(also insbesondere nur nach oben geöffnete - d.h. der Faktor vor dem
[mm] $x^2\,$ [/mm] ist stets [mm] $\textbf{\,+\,}1$!!).
[/mm]
(Oder auch [mm] $f(x)=(x-x_0)^2+y_0\,,$ [/mm] wenn [mm] $S(x_0/y_0)$ [/mm] der Scheitelpunkt
ist. Aber die beiden Darstellungen der Funktionsgleichungen kann man
immer ineinander überführen, soll heißen, im Endeffekt ist's egal, welche
der beiden man fordert, wenn man das von mir gesagte meint!)
So eine Funktion kannst Du, und dafür hat man sowas wie "quadratische
Ergänzung" ja auch mal gelernt, umschreiben:
[mm] $$f(x)=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac b 2\right)^2+c$$
[/mm]
(Rechne es schlimmstenfalls nach - von rechts nach links(!) - besser ist
aber, Du übst nochmal, wie die quadratische Ergänzung funktioniert!)
Wie liest man aus dieser Darstellung nun den Scheitelpunkt der
zugehörigen Parabel ab?
Und allgemein ist das auch nicht viel schwieriger:
Wenn man
[mm] $$f(x)=ax^2+bx+c$$
[/mm]
hat (o.E. $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] sonst steht da ja eh nur eine Geradengleichung!),
so kann man schreiben
[mm] $$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\,.$$
[/mm]
In der Klammer steht eigentlich wieder nur eine Gleichung einer
verschobenenen Normalparabel - der Faktor [mm] $a\,$ [/mm] macht dann noch
irgendwas mit der.
Jedenfalls kannst Du nun setzen
[mm] $$b':=\frac [/mm] b a$$
und
[mm] $$c':=\frac [/mm] c a$$
und gehst analog zu oben vor- [mm] $b'\,$ [/mm] hat dann die Rolle des "alten" [mm] $b\,$'s
[/mm]
und [mm] $c'\,$ [/mm] übernimmt die des "alten" [mm] $c\,$'s.
[/mm]
Aber das nur nebenher...
P.S.
Wenn Dich das oben geschriebene zu sehr verwirren sollte - wir
bezeichnen ja i.a. verschiedene Funktionen mit dem gleichen Buchstaben
[mm] $f\,,$ [/mm] außerdem ist das [mm] $b\,$ [/mm] bei der einen Funktion [mm] $f(x)=ax^2+bx+c\,$
[/mm]
ein anderes wie das [mm] $b\,$ [/mm] bei der anderen Funktion [mm] $f(x)=x^2+bx+c$
[/mm]
etc. pp., dann sag' das bitte, denn dann schreibe ich Dir das nochmal
sauber auf in dem Sinne, dass wir alles nur einmal benennen! An
"Bezeichnungswirrwarr" sollte Dein Verständnis nicht zu leiden haben!
Gruß,
Marcel
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