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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:05 Mi 13.05.2009 | | Autor: | ulucay |
| Aufgabe | die räume aller konvergente folgen bzw. nullfolgen, sind durch
[mm] c:={x=(\alpha_k)_k: \alpha_k\in K, \exists \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha_k},
[/mm]
[mm] c_0:={x=(\alpha_k)_k: \alpha\in K, \limes_{k\rightarrow\infty}=0}
[/mm]
gegeben.
Zeigen sie, dass c und [mm] c_0 [/mm] abgeschlossene Untervektorräume von [mm] l^{\infty} [/mm] bzgl. der supremumsnorm [mm] |x|_{\infty} [/mm] sind. bestimmen sie den abschluss des raumes der endlichen folgen [mm] c_{00} [/mm] in [mm] l^{\infty}.
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe zwar ein paar ideen, aber komme nicht unbedingt weiter kann mir vlt. jemand ein paar tipps geben? ich hatte halt gedacht , dass ich z.b. die menge aller grenzwerte als folge definiere und dann irgendwie zeige dass diese dann in der menge liegt dann wäre ja die menge abgeschlossen oder?
oder dass der grenzwert von irgendeiner folge in irgendeiner andren folge als glied schon vorhanden ist so wäre ja dann der grenzwert auch in c
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo erst einmal!
> die räume aller konvergente folgen bzw. nullfolgen, sind
> durch
> [mm]c:={x=(\alpha_k)_k: \alpha_k\in K, \exists \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha_k},[/mm]
>
> [mm]c_0:={x=(\alpha_k)_k: \alpha\in K, \limes_{k\rightarrow\infty}=0}[/mm]
>
> gegeben.
> Zeigen sie, dass c und [mm]c_0[/mm] abgeschlossene Untervektorräume
> von [mm]l^{\infty}[/mm] bzgl. der supremumsnorm [mm]|x|_{\infty}[/mm] sind.
Die Untervektorraumkriterien nachzurechnen, ist sicherlich eine leichte Übung für dich.
Interessant ist nur die Betrachtung, ob die Mengen abgeschlossen sind, und das sind sie.
Zu c
Sei [mm] (a^{(k)})_{n=1}^\infty [/mm] eine Folge in c, a [mm] \in l^\infty [/mm] und es gelte
[mm] ||a^{(k)} [/mm] - a [mm] ||_\infty \to [/mm] 0, k [mm] \to \infty
[/mm]
Wir brauchen bloss zu zeigen, dass a [mm] \in [/mm] c, da aber [mm] \IK [/mm] vollständig ist, reicht zu zeigen, dass a = [mm] (a_j)_{j=1}^\infty [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n > [mm] n_0 [/mm] : [mm] ||a^{(k)}-a||_\infty \le [/mm] 1/3 * [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann wähle n mit [mm] ||a^{(k)}-a||_\infty \le [/mm] 1/3 [mm] \varepsilon
[/mm]
D. h. [mm] a^{(k)} [/mm] = [mm] (a_j^{(k)})_{j=1}^\infty [/mm] ist konvergent, also Cauchyfolge
[mm] \Rightarrow \exists j_0 \forall [/mm] j k [mm] \ge j_0 [/mm] : [mm] |a_j^{(k)}-a_n^{(k)}| \le [/mm] 1/3 [mm] \varepsilon [/mm] und somit
[mm] |a_j [/mm] - [mm] a_n| \le |a_j-a_j^{(k)}| [/mm] + [mm] |a_j^{(n)}-a_k^{(n)}|+|a_k^{(n)}-a_k| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist a = [mm] (a_j)_{j=1}^\infty [/mm] eine Cauchyfolge
q.e.d.
> bestimmen sie den abschluss des raumes der endlichen folgen
> [mm]c_{00}[/mm] in [mm]l^{\infty}.[/mm]
[mm] c_{00} [/mm] ist im Prinzip die Menge c, bei der [mm] a_j [/mm] gegen Null konvergiert, also [mm] a_k [/mm] = 0 bis auf höchstens endlich viele k, dann ist der Abschluss von [mm] c_{00} [/mm] gerade [mm] c_0.
[/mm]
Beweis? Den spare ich mir mal, da die Fälligkeit der Frage bereits abgelaufen
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe zwar ein paar ideen, aber komme nicht unbedingt
> weiter kann mir vlt. jemand ein paar tipps geben? ich hatte
> halt gedacht , dass ich z.b. die menge aller grenzwerte als
> folge definiere und dann irgendwie zeige dass diese dann in
> der menge liegt dann wäre ja die menge abgeschlossen oder?
> oder dass der grenzwert von irgendeiner folge in
> irgendeiner andren folge als glied schon vorhanden ist so
> wäre ja dann der grenzwert auch in c
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
MfG!
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:02 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ulucay |
| Aufgabe | die räume aller konvergente folgen bzw. nullfolgen, sind
> durch
> $ [mm] c:={x=(\alpha_k)_k: \alpha_k\in K, \exists \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha_k}, [/mm] $
>
> $ [mm] c_0:={x=(\alpha_k)_k: \alpha\in K, \limes_{k\rightarrow\infty}=0} [/mm] $
>
> gegeben.
> Zeigen sie, dass c und $ [mm] c_0 [/mm] $ abgeschlossene Untervektorräume
> von $ [mm] l^{\infty} [/mm] $ bzgl. der supremumsnorm $ [mm] |x|_{\infty} [/mm] $ sind.
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danke dir zuerst!
aber ich versteh das nicht so ganz..
du sagst, dass [mm] a^{(k)} [/mm] gegen a konvergiert. aber dann definierst du wieder a als eine folge, ist dann a eine folge aller grenzwerte in c oder wie muss ich das verstehen. und wieso ist c der abschluss von [mm] c_{00}
[/mm]
kannst du bitte mir vlt. die schritte genauer erklären
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 17.05.2009 | | Autor: | Disap |
Hi.
> die räume aller konvergente folgen bzw. nullfolgen, sind
> > durch
> > [mm]c:={x=(\alpha_k)_k: \alpha_k\in K, \exists \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha_k},[/mm]
>
> >
> > [mm]c_0:={x=(\alpha_k)_k: \alpha\in K, \limes_{k\rightarrow\infty}=0}[/mm]
>
> >
> > gegeben.
> > Zeigen sie, dass c und [mm]c_0[/mm] abgeschlossene
> Untervektorräume
> > von [mm]l^{\infty}[/mm] bzgl. der supremumsnorm [mm]|x|_{\infty}[/mm]
> sind.
>
> danke dir zuerst!
>
> aber ich versteh das nicht so ganz..
> du sagst, dass [mm]a^{(k)}[/mm] gegen a konvergiert. aber dann
> definierst du wieder a als eine folge, ist dann a eine
> folge aller grenzwerte in c oder wie muss ich das
> verstehen.
Na das ist doch hier einfach nur eine Formsache, da ich hier mit Teilfolgen arbeite. Und mir fällt auch gerade kein anderer Beweis ein, der ohne Teilfolgen auskommt.
und wieso ist c der abschluss von [mm]c_{00}[/mm]
[mm] c_{00} [/mm] = [mm] \{ (a_k)_{k=1}^\infty in \mathbb{K} : a_k=0 \mbox{ bis auf für höchstens endlich viele Ausnahmen } \}
[/mm]
Um zu zeigen, dass der Abschluss von [mm] c_{00} [/mm] gleich [mm] c_0 [/mm] ist, musst du nur zeigen, dass ein [mm] a^{(k)} [/mm] existiert in [mm] c_{00} [/mm] mit [mm] ||a^{(k)}-a||_\infty \to [/mm] 0, k [mm] \to \infty [/mm] für ein a [mm] \in c_0.
[/mm]
Denn dann folgt a [mm] \in \overline{c_{00}} [/mm] bzw [mm] c_0 \subset \overline{c_{00}} \subset \overline{c_0} [/mm] = [mm] c_0
[/mm]
Vorausgesetzt, du weisst, dass [mm] c_{00}\subset c_0 \subset [/mm] c ist.
Mfg
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