normierte Zeilenstufenform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Matrix
A= [mm] \begin{bmatrix}
-3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\
1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\
-4 & -8 & 2 & 8 & -7
\end{bmatrix}
[/mm]
a) Überführen Sie die Matrix A in die normierte Zeilenstufenform. Machen Sie die dabei von Ihnen angewandten elementaren Zeilenumformungen kenntlich. |
Hallo zusammen!
Bei obiger Frage bin ich mir gerade nicht sicher, ob ich die korrekte Lösung gefunden habe. Grundsätzlich sieht das was ich gemacht habe für mich okay aus.
Im folgenden meine Lösung. Den Weg dorthin schreibe ich bei Bedarf auf.
A= [mm] \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Viele Grüße & Danke
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Gegeben sei die folgende Matrix
>
> A= [mm]\begin{bmatrix}
-3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\
1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\
-4 & -8 & 2 & 8 & -7
\end{bmatrix}[/mm]
>
> a) Überführen Sie die Matrix A in die normierte
> Zeilenstufenform.
>
> --> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast richtig gerechnet.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | A= $ [mm] \begin{bmatrix} -3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ -4 & -8 & 2 & 8 & -7 \end{bmatrix} [/mm] $
Bestimmen Sie Bild(A) sowie eine Basis von Bild(A). |
Ich danke dir für die positive Beantwortung meiner Frage :)!
Nun stehe ich bei einer weiteren Teilaufgabe ein wenig auf dem Schlauch.
ich soll das Bild(A) bestimmen. So weit so gut. Ich weiß, dass das Bild(A)=A*[mm] \vec x [/mm]=[mm] \vec b [/mm].
Um an das Bild zu kommen stelle ich die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
[mm] \begin{vmatrix}
-3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ -4 & -8 & 2 & 8 & -7\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{vmatrix}
[/mm]
Bin mir nun aber insgesamt nicht sicher, ob das Sinn macht was ich mache...
Ich rechne in diesem Fall nun weiter indem ich die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringe.
Das Konstrukt ergibt dann
[mm] \begin{vmatrix}
-3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_1 \\ 1/3b_1+b_2 \\ 1/3b_1+5b_2+b_3 \\ \end{vmatrix}
[/mm]
Nachdem ich das nun gemacht habe entsteht bei mir ein Knoten im Kopf. :)
Macht es ansatzweise Sinn was ich da mache? Lösung wäre ja dann:
Bild(A)={ [mm] \begin{vmatrix}b_1 \\ 1/3b_1+b_2 \\ 1/3b_1+5b_2+b_3 \\ \end{vmatrix}|b_1, b_2, b_3 \in \IC^3 [/mm] }
Oder bin ich auf dem Holzweg?
Noch einmal Vielen Dank für den schnellen Support hier :) !
|
|
|
| |
|
> A= [mm]\begin{bmatrix} -3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ -4 & -8 & 2 & 8 & -7 \end{bmatrix}[/mm]
>
>
> Bestimmen Sie Bild(A) sowie eine Basis von Bild(A).
> ich soll das Bild(A) bestimmen. So weit so gut. Ich weiß,
> dass das Bild(A)=A*[mm] \vec x [/mm]=[mm] \vec b [/mm].
Hallo,
das ist so nicht richtig.
Es ist für eine [mm] n\times [/mm] m-Matrix A
[mm] Bild(A):=\{A\vec{x}|\vec{x}\in \IR^m\}.
[/mm]
Das Bild ist ein Unterraum des [mm] \IR^n.
[/mm]
Nun zu Deiner Aufgabe:
Das Bild von A bekommst Du also, wenn Du A mit allen [mm] \vec{x}\in \IR^5 [/mm] durchmultiplizierst und die Ergebnisse in einer Menge sammelst.
Du kannst Dir überlegen, daß für jede Basis [mm] (b_1,b_2,b_3, b_4, b_5) [/mm] des [mm] \IR^5 [/mm] gilt, daß das Bild von [mm] Ab_1, Ab_2, Ab_3, Ab_4, Ab_5 [/mm] aufgespannt wird.
Insbesondere wird es auch aufgespannt vom Produkt von A mit den 5 Standardbasisvektoren.
Diese Produkte sind die Spalten der Matrix.
Das Bild ist also die lineare Hülle (=Erzeugnis=Span) der Vektoren in den Spalten der Matrix.
Wenn man die lineare Hülle mit eckigen Klammern schreibt, ist also
[mm] Bild(A)=<\vektor{-1\\3\\4},...,...,...,...>
[/mm]
Jeder Vektor, den man als Linearkombination dieser Vektoren schreiben kann, ist im Bild.
Um eine Basis des Bildes zu bekommen, mußt Du nun aus diesem Erzeugendensystem eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfischen.
Falls der Rang bereits besprochen wurde, weißt Du: Rang(A)=3, und weil das Bild eine Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] ist, kann es nur der [mm] \IR^3 [/mm] selber sein, womit auch die Frage nach der Basis geklärt sein dürfte.
---
Damit Du aus dem Forum etwas fürs Leben mitnimmst, will ich Dir noch zwei Vorgehensweisen sagen, wie Du für eine Matrix nach Schema F eine Basis des Bildes bestimmen kannst.
1. Möglichkeit:
Bring die Matrix auf Zeilenstufenform. (Es muß nicht die reduzierte sein.)
Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Bei Deiner Matrix:
A= [mm] \begin{bmatrix}
\red{1} & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & \red{1} & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \red{1}
\end{bmatrix}
[/mm]
Die Spalten der Ursprungsmatrix, in denen markierte Elemente stehen, sind eine Basis des Bildes.
Bei Dir: [mm] \vektor{-3\\1\\-4}, \vektor{-6\\0\\2}, \vektor{0\\2\\-7} [/mm] ist eine Basis des Bildes.
2. Möglichkeit:
Transponiere die Matrix.
Bring sie auf Zeilenstufenform.
Transponiere wieder.
In den von Null verschiedenen Spalten steht eine Basis des Bildes.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fuoor |
> Jeder Vektor, den man als Linearkombination dieser
> Vektoren schreiben kann, ist im Bild.
Wenn ich das also richtig verstanden habe, ist durch den Rang 3 und die vorhandenen Standardbasisvektoren das Bild letztendlich die Menge aller Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] bzw in diesem Fall des [mm] \IC^3 [/mm] weil alles aufgespannt werden kann? Hoffe ich liege damit richtig :Z
> 1. Möglichkeit:
> Bring die Matrix auf Zeilenstufenform. (Es muß nicht die
> reduzierte sein.)
> Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
>
> Bei Deiner Matrix:
> A= [mm]\begin{bmatrix}
\red{1} & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & \red{1} & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \red{1}
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Die Spalten der Ursprungsmatrix, in denen markierte
> Elemente stehen, sind eine Basis des Bildes.
>
> Bei Dir: [mm]\vektor{-3\\1\\-4}, \vektor{-6\\0\\2}, \vektor{0\\2\\-7}[/mm]
> ist eine Basis des Bildes.
So einfach kann das Leben also sein :). Ich danke dir für die Antwort und hoffe ich habe den ersten Teil verstanden.
|
|
|
| |
|
> > Jeder Vektor, den man als Linearkombination dieser
> > Vektoren schreiben kann, ist im Bild.
>
> Wenn ich das also richtig verstanden habe, ist durch den
> Rang 3 und die vorhandenen Standardbasisvektoren das Bild
> letztendlich die Menge aller Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] bzw in
> diesem Fall des [mm]\IC^3[/mm] weil alles aufgespannt werden kann?
Hallo,
ist komisch formuliert, aber wenn Du die Botschaft, daß wegen Rang=3 das Bild die Dimension 3 hat, vernommen hast und daraus schließt, daß das Bild dann der komplette [mm] \IC^3 [/mm] ist, liegst Du richtig.
LG Angela
> Hoffe ich liege damit richtig :Z
>
>
> > 1. Möglichkeit:
> > Bring die Matrix auf Zeilenstufenform. (Es muß nicht
> die
> > reduzierte sein.)
> > Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
> >
> > Bei Deiner Matrix:
> > A= [mm]\begin{bmatrix}
\red{1} & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & \red{1} & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \red{1}
\end{bmatrix}[/mm]
>
> >
> > Die Spalten der Ursprungsmatrix, in denen markierte
> > Elemente stehen, sind eine Basis des Bildes.
> >
> > Bei Dir: [mm]\vektor{-3\\1\\-4}, \vektor{-6\\0\\2}, \vektor{0\\2\\-7}[/mm]
> > ist eine Basis des Bildes.
>
> So einfach kann das Leben also sein :). Ich danke dir für
> die Antwort und hoffe ich habe den ersten Teil verstanden.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fuoor |
Ja, recht dilettantisch von mir beschrieben, aber das meinte ich damit.
Ich danke vielmals für die Hilfestellung. Jetzt muss ich das nur noch in die richtige Form bringen, dann läuft das ;).
Ich wünsche dir einen angenehmen Abend und denke, falls hier Themen geschlossen werden, ist dieses hier eindeutig als gelöst und zum schließen bereit zu betrachten.
Viele Grüße aus Berlin!
|
|
|
|
