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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:01 Fr 16.06.2006 | | Autor: | bobby |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich weis nicht so recht wie ich an die folgende Aufgabe rangehen soll...
| Aufgabe | Betrachte den normierten Raum $(C[0,1], || ||_{sup} \ mit \ ||f||_{sup}=sup|f(x)|$ mit $x \ aus \ [0,1]$.
Zeige, dass in diesem Raum die Menge $B_{1}(0)={f \ aus \ C[0,1] \ mit \ ||f||_{sup}\le 1$ (beschränkt und) abgeschlossen, nicht aber kompakt ist. |
Kann mir da einer helfen? Ich versteh das ganze Thema mit der Kompaktheit auch nicht so richtig...
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Hey und hallo,
ich wollt jetzt hier schon wieder antworten, geht aber wieder nicht. Na ja egal, der Unterschied ist mir eh nicht so ganz klar.
Ich schreib mal was zu der Frage, ok ?
Also ''beschränkt'' heisst ja, dass es eine Zahl Z gibt so dass für alle f,g aus der Menge [mm] |f-g|\leq [/mm] Z gilt (ich schreib da einfach die Betragsstriche
für die Supremumsnorm, dann ist es weniger zu tippen, ok ?).
Und weil ja für alle f aus der Menge [mm] |f|\leq [/mm] 1 gilt, ist ja für g,f [mm] \in B_1(0) |f-g|\leq |f|+|g|\leq [/mm] 2, also ist [mm] B_1(0) [/mm] beschränkt.
Die Menge ist abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossenen Menge [0,1] unter der stetigen Abbildung [mm] f\mapsto [/mm] |f|
(die Normbildung ist ja immer stetig, das müsst man halt noch separat zeigen).
Sie ist nicht kompakt. Kompakt hiesse ja ''jede offene Überdeckung hat ne endliche Teilüberdeckung'', wir müssen also zum Beweis des Gegenteils
eine offene Überdeckung angeben, die sowas nicht hat (Bemerkung: Im endlichdimensionalen Fall könnt dieses Beweisvorhaben leider nicht klappen
- oder Gott sei Dank ?  ).
Kann man denn nicht eine Familie von Zackenfunktionen definieren: Jede hat genau einen Zacken von der 0-Linie hoch zur 1 bzw runter zur -1,
und die ''Breite'' des Zackens lassen wir mit höherem Funktionsindex kleiner werden. Darum legen wir dann den offenen Ball mit radius
gleich Breite des Zackens +1 oder so, das müsst es dann doch sein, oder ? Bei nur endlich vielen Zacken können wir leicht eine weitere
Zackenfunktion konstruieren, die von allen einen Abstand nahe bei 2 hat.
Viele Grüsse
just-math
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