nte Ableitung und Tylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 14.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x) = − [mm] ln(1-\bruch{x}{2})
[/mm]
(a) Leiten Sie für [mm] n\in\IN [/mm] eine Formel für die n-te Ableitung von f her, und beweisen Sie diese durch vollständige
Induktion
Entwickeln Sie die Funktion f(x) = − [mm] ln(1-\bruch{x}{2}) [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 in eine Taylorreihe.
Fur welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert die Taylorreihe von f? |
Habe jetzt als n-te Ableitung
[mm] (-1)^n\bruch{n!}{(x-2)^n}
[/mm]
Kann mir jemand helfen diese zu beweisen und die Reihe zu bilden?
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>Habe jetzt als n-te Ableitung
>$ [mm] (-1)^n\bruch{n!}{(x-2)^n} [/mm] $
Fast. Der Zähler passt nicht ganz. Berechne doch mal die ersten 5 Ableitungen, spätestens dann siehst du, dass der Zähler nicht ganz stimmt.
>Kann mir jemand helfen diese zu beweisen und die Reihe zu bilden?
Die falsche n. Ableitung zu beweisen, dabei wird dir keiner helfen können 
Mit der richtigen Formel für die n. Ableitung aber geht die vollständige Induktion sehr einfach.
Und was ist dein Problem bei der Bildung der Reihe? Die Formel für die Taylorrheine kennst du doch hoffentlich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:32 Mo 15.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> >Habe jetzt als n-te Ableitung
>
> >[mm] (-1)^n\bruch{n!}{(x-2)^n}[/mm]
>
ahh... [mm] (-1)^n\bruch{(n-1)!}{(x-2)^n} [/mm] jetzt aber oder?
> Fast. Der Zähler passt nicht ganz. Berechne doch mal die
> ersten 5 Ableitungen, spätestens dann siehst du, dass der
> Zähler nicht ganz stimmt.
>
> >Kann mir jemand helfen diese zu beweisen und die Reihe zu
> bilden?
>
> Die falsche n. Ableitung zu beweisen, dabei wird dir keiner
> helfen können
>
> Mit der richtigen Formel für die n. Ableitung aber geht
> die vollständige Induktion sehr einfach.
>
> Und was ist dein Problem bei der Bildung der Reihe? Die
> Formel für die Taylorrheine kennst du doch hoffentlich...
Kannst du mal mit dem Anfang helfen(also bei der Induktion und Taylorreihe)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 Mo 15.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> > >Habe jetzt als n-te Ableitung
> >
> > >[mm] (-1)^n\bruch{n!}{(x-2)^n}[/mm]
> >
>
> ahh... [mm](-1)^n\bruch{(n-1)!}{(x-2)^n}[/mm] jetzt aber oder?
Jetzt passts !
>
> > Fast. Der Zähler passt nicht ganz. Berechne doch mal die
> > ersten 5 Ableitungen, spätestens dann siehst du, dass der
> > Zähler nicht ganz stimmt.
> >
> > >Kann mir jemand helfen diese zu beweisen und die Reihe zu
> > bilden?
> >
> > Die falsche n. Ableitung zu beweisen, dabei wird dir keiner
> > helfen können
> >
> > Mit der richtigen Formel für die n. Ableitung aber geht
> > die vollständige Induktion sehr einfach.
> >
> > Und was ist dein Problem bei der Bildung der Reihe? Die
> > Formel für die Taylorrheine kennst du doch hoffentlich...
>
> Kannst du mal mit dem Anfang helfen(also bei der Induktion
> und Taylorreihe)
Die Behauptung ist also:
(*) [mm]f^{(n)}(x)=(-1)^n\bruch{(n-1)!}{(x-2)^n}[/mm]
für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dazu machst Du einen schnörkellosen Iduktionsbeweis.
Induktionsanfang: Zeige, dass (*) für n=1 wahr ist.
Induktionsvoraussetzung (IV): Sei n [mm] \in \IN [/mm] und (*) sei wahr für dieses n.
Zeige Du nun, dass unter der IV die obige Formel (*) auch für n+1 richtig ist.
Zur Reihe: die lautet so:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.
[/mm]
Stelle sie auf und schau nach, für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] sie konvergiert.
FRED
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