nullstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 06.12.2009 | | Autor: | lalalove |
Hallo!
Ich muss ide Nullstellen folgender FUnktion bestimmen:
[mm] f(x)=x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] -x-1
auf welcher Art und Weise mache ich das?
da hier noch ein [mm] x^{3} [/mm] ist,kann ich die pq formel leider nicht anweden (?!)
In meinem Mathebuch stand etwas von Polynomdivision,
das habe ich aber gar nicht verstanden.
oder wie wandle ich die funktion in ein Produkt um und in eine quadratische Funktion?
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Hallo lalalove,
das geht nicht automatisch.
Du musst erst einmal eine Nullstelle sozusagen durch Raten finden.
> [mm] f(x)=x^{3}+x^{2}-x-1
[/mm]
>
> auf welcher Art und Weise mache ich das?
> da hier noch ein [mm]x^{3}[/mm] ist,kann ich die pq formel leider
> nicht anweden (?!)
Stimmt. Bei Polynomen aus Übungsaufgaben gibt es meistens mindestens eine ganz einfache Nullstelle, sowas wie -2, -1, 0, 1, 2.
Bei ganzzahligen Koeffizienten sind die Nullstellen entweder auch ganzzahlig, oder "paarig" irrational (z.B. [mm] +\wurzel{3} [/mm] und [mm] -\wurzel{3}). [/mm] Dagegen können sie dann nicht rational sein (Du brauchst [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] also gar nicht erst zu versuchen).
Außerdem teilen die ganzzahligen Nullstellen das absolute Glied. Hier müsste es also ein ganzzahliger Teiler von 1 (bzw. -1) sein. Das schränkt die Auswahl doch erheblich ein...
Ausnahmsweise geht es hier aus mit Ausklammern:
[mm] x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)
[/mm]
> In meinem Mathebuch stand etwas von Polynomdivision,
> das habe ich aber gar nicht verstanden.
> oder wie wandle ich die funktion in ein Produkt um und in
> eine quadratische Funktion?
Klarer?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 06.12.2009 | | Autor: | lalalove |
> Hallo lalalove,
>
> das geht nicht automatisch.
>
> Du musst erst einmal eine Nullstelle sozusagen durch Raten
> finden.
>
> > [mm]f(x)=x^{3}+x^{2}-x-1[/mm]
> >
> > auf welcher Art und Weise mache ich das?
> > da hier noch ein [mm]x^{3}[/mm] ist,kann ich die pq formel
> leider
> > nicht anweden (?!)
>
> Stimmt. Bei Polynomen aus Übungsaufgaben gibt es meistens
> mindestens eine ganz einfache Nullstelle, sowas wie -2, -1,
> 0, 1, 2.
>
> Bei ganzzahligen Koeffizienten sind die Nullstellen
> entweder auch ganzzahlig, oder "paarig" irrational (z.B.
> [mm]+\wurzel{3}[/mm] und [mm]-\wurzel{3}).[/mm] Dagegen können sie dann
> nicht rational sein (Du brauchst [mm]\tfrac{1}{2}[/mm] also gar
> nicht erst zu versuchen).
>
> Außerdem teilen die ganzzahligen Nullstellen das absolute
> Glied. Hier müsste es also ein ganzzahliger Teiler von 1
> (bzw. -1) sein. Das schränkt die Auswahl doch erheblich
> ein...
Das hab ich hier verstanden. Danke =)
> Ausnahmsweise geht es hier aus mit Ausklammern:
>
> [mm]x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)[/mm]
>
das nicht so, aber ich glaub ich soll auch nicht ausklammern?!
Aber ich soll glaub ich die Funktion in ein lineares Produkt und in ein quadratisches schreiben?
Da, wenn ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens ein faktor Null ist.
Wie mache ich das?
>
> lg
> reverend
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Hallo nochmal,
> > Ausnahmsweise geht es hier aus mit Ausklammern:
> >
> [mm]x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)[/mm]
> >
> das nicht so, aber ich glaub ich soll auch nicht
> ausklammern?!
Na, dann rate nachträglich noch eine der beiden Nullstellen +1 oder -1, und mach eine Polynomdivision. Wenn das unbedingt im Lösungsweg vorkommen soll, will ich dem nicht im Wege stehen. 
Was schließllich rauskommt, ist aber natürlich das gleiche.
> Aber ich soll glaub ich die Funktion in ein lineares
> Produkt und in ein quadratisches schreiben?
Ja, entweder [mm] (x+1)(x^2-1) [/mm] oder [mm] (x-1)(x^2+2x+1)
[/mm]
> Da, wenn ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens ein
> faktor Null ist.
>
> Wie mache ich das?
Na, im Linearfaktor kann man das ja so ablesen. Wenn der (x-a) lautet, ist [mm] x_0=\blue{+}a [/mm] eine Nullstelle.
Einen quadratischen Faktor kannst Du mit der p/q-Formel lösen.
Aber mal ganz ehrlich, wozu der Aufwand, wenn man doch hier so leicht anders zur gleichen Lösung kommt?
Ich habe mir aus meinem Matheunterricht an der Schule vor allem den zentralen Merksatz eines langjährigen Mathelehrers gemerkt: Mathematiker sind faul.
Da wusste ich, das Fach ist was für mich. 
lg
reverend
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hallo
guck mal nochmal hier in diesem Link :
 Polynomdivision
unter "Anwendungsbeispiel"
(ist etwas unten auf der Seite).
MfG
Danyal
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Ich schick dir mal ne Gebrauchsanleitung. Deine Aufgabe beginnt bei Schritt 4 meiner Anleitung.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: DOC) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 12.12.2009 | | Autor: | lalalove |
[mm] x^{5}+3x^{4}+2x+6=0
[/mm]
Teiler von 6: 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
x1= -3
[mm] (x^{5}+3x^{4}+2x+6): [/mm] (x+3) = [mm] x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1
[/mm]
- [mm] x^{5}-4x^{4}
[/mm]
_____________
[mm] -x^{4}+0x^{3}
[/mm]
[mm] +x^{4}+3x^{3}
[/mm]
______________
[mm] 3x^{3}+0x^{2}
[/mm]
[mm] -3x^{3}+3x^{2}
[/mm]
_______________
[mm] 3x^{2}+2x
[/mm]
[mm] -3x^{2}-3x
[/mm]
______________
-x + 6
..irgendwas habe ich falsch gemacht..
und bei dem ergebnis kann manauch gar keine pq formel anwenden?
Wo ist mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Disap |
> [mm]x^{5}+3x^{4}+2x+6=0[/mm]
>
> Teiler von 6: 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
>
> x1= -3
>
> [mm](x^{5}+3x^{4}+2x+6):[/mm] (x+3) = [mm]x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1[/mm]
> - [mm]x^{5}-4x^{4}[/mm]
> _____________
> [mm]-x^{4}+0x^{3}[/mm]
Warum ziehst du [mm] 4x^4 [/mm] ab? Du musst nur [mm] 3x^4 [/mm] abziehen...
> [mm]+x^{4}+3x^{3}[/mm]
> ______________
> [mm]3x^{3}+0x^{2}[/mm]
> [mm]-3x^{3}+3x^{2}[/mm]
> _______________
> [mm]3x^{2}+2x[/mm]
> [mm]-3x^{2}-3x[/mm]
> ______________
> -x + 6
>
> ..irgendwas habe ich falsch gemacht..
> und bei dem ergebnis kann manauch gar keine pq formel
> anwenden?
>
> Wo ist mein Fehler?
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:41 Sa 12.12.2009 | | Autor: | lalalove |
eine andere aufgabe:
[mm] 6x^{2} [/mm] + 6 = 11x+ [mm] x^{3} [/mm] ||-11x [mm] -x^{3}
[/mm]
[mm] -x^{3}+6x^{2}-11x+6 [/mm] = 0 ||:(-1)
[mm] x^{3}-6x^{2}+11x-6 [/mm] = 0
Teiler von 6: 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
x1= 1
x2= 2
Kann man bei solchen Aufgaben denn Nullstellen schon haben?
Wie wende ich denn nun die Polynomdivision an?
Muss ich das jetzt 2x machen? einmal mit 1 und einmal mit 2?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Disap |
> eine andere aufgabe:
>
> [mm]6x^{2}[/mm] + 6 = 11x+ [mm]x^{3}[/mm] ||-11x [mm]-x^{3}[/mm]
>
> [mm]-x^{3}+6x^{2}-11x+6[/mm] = 0 ||:(-1)
>
> [mm]x^{3}-6x^{2}+11x-6[/mm] = 0
>
> Teiler von 6: 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6
>
> x1= 1
> x2= 2
Alles richtig gerechnet
x3 = 3 fehlt noch ;)
> Kann man bei solchen Aufgaben denn Nullstellen schon
> haben?
Ja sicher, wie du siehst, gibt es ja drei Schnittpunkte bzw. drei nullstellen
> Wie wende ich denn nun die Polynomdivision an?
> Muss ich das jetzt 2x machen? einmal mit 1 und einmal mit
> 2?
Du kannst die Polynomdivision machen, indem du erst durch
* (x-2) dann durch (x-1) teilst
* (x-1) dann durch (x-2) teilst
oder auch nur durch
*(x-1)
*(x-2)
teilst
Bei den ersten Beiden Punkten müsstest du dann eine lineare Gleichung lösen, bei den beiden restlichen Punkten eine quadratische, wobei du ja eine Lösung schon gefunden hast. Trotzdem könntest du die quadratische Gleichung durch die PQ-Formel, quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel etc. lösen.
Also: ganz wie du es willst
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 12.12.2009 | | Autor: | lalalove |
also mehr als diese 3 nullstellen kriege ich auch nicht raus.
aber wie sieht diese funktion denn aus das sie gleich 3x die x-achse schneidet?
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Hallo love,
eine Funktion dritten Grades hat höchstens drei Nullstellen. Mehr kannst Du also auch nicht rauskriegen.
Steht vor dem [mm] x^3 [/mm] ein positiver Koeffizient, hat die Funktion gewöhnlich den Verlauf "rauf-runter-rauf", bei negativem Koeffizienten umgekehrt.
Einfach zu merken:
plus [mm] \to [/mm] rauf-runter-rauf
minus [mm] \to [/mm] runter-rauf-runter
lg
reverend
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