numerisch Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
{f(x) [mm] }=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}*e^{-0.5*x^{2}}
[/mm]
a)Führen Sie die numerische Integration für das Interval [mm] x\in[0;2] [/mm] mit der Simpsonregel durch.
b) überprüfen Sie das Ergebnis mit den Tafeln für die Standartnormalfunktion |
ich habe schonmal folgendes gemacht. Xi habe ich mit folgenden weten versehen: 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2
dann habe ich die Wete für x in die Funktion eingesetzt und folgende Ergebnisse für yi erhalten.: 0,399 ; 0,352 ; 0,242 ; 0,130 ; 0,054
Das dekt sich soweit auch mit dem Lösungsvorschlag von dem Professor.
Jetzt bin ich gerade dabei die Werte für hi zu bestimmen. Da habe ich folgenden Ansatz gefunden hi=(b-a)/n ich habe auch andere schreibweisen gefunden die aber letztendlich das gleiche bedeuten. Da habe ich nun für hi folgende Werte: 0 ; 1/4 ; 1/2 ; 3/4 ; 1 herausbekommen.
Diese Werte weichen aber gewaltig von dem Lösungsbeispiel ab. Hier heißt es nämlich 1 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 also schöne glatte Werte. Ich kann diese aber nicht wirklich nachvollziehen.
jetz wollte ich mal fragen, ob mir da mal jemand helfen kann und mir ein wenig hilft. Ich habe leider keine Ahnung wie das Funktioniern kann. das ist denke ich ein Problem, das darauf zurückzuführen ist, dass dieses nie in der Vorlesung angesprochen wurde. Deshalb möchte ich mich hier mal an die Profis wenden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Mir scheint, du wirfst da was durcheinander.
Für die Simpson- und auch alle anderen Integrationsmethoden brauchst du die Länge deiner Integrationsschritte. Das ist kein [mm] h_i [/mm] , sondern einfach nur [mm] h=\frac{b-a}{n}.
[/mm]
Jetzt nochmal zum Prinzip der Keplerschen Faßregel:
* Du hast drei Stützstellen in gleichem Abstand bei [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] .
* Du legst eine Parabel [mm] p+qx+rx^2 [/mm] durch die Stützstellen (d.h. du bestimmst p, q, r)
* Das Integral [mm] \int^{x_3}_{x_1}p+qx+rx^2\,dx [/mm] ist sehr leicht auszurechnen und gibt dir annähernd das Integral über die ursprüngliche Funktion wieder.
* Du kannst das ganze so weit automatisieren, daß du eine fertige Formel hast (Ist etwas fummelei, macht man nur einmal im Leben):
$$ [mm] \int_{x_1}^{x_3}f(x)\,dx\approx \frac{x_3-x_1}{6} \cdot \left( f_1+4f_2+f_3 \right)=\green{\frac{h}{3}} \cdot \left( f_1+4f_2+f_3 \right)$$
[/mm]
Das h ist einfach nur der Abstand der Stützstellen. Das ist das, was du bei dir da ausgerechnet hast.
Die Simpson-Regel macht nun nur eines: Für ein genaueres Ergebnis zerteilst du dein Integrationsintervall in viele kleine Bereche, und wendest die Keplersche Faßregel auf alle einzeln an.
Du nimmst z.B. die Stützstellen bei [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_5 [/mm] .
Du kannst nun zwei mal Keppler anwenden:
[mm] \int_{x_1}^{x_5}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_3}f(x)\,dx+\int_{x_3}^{x_5}f(x)\,dx
[/mm]
[mm] \int_{x_1}^{x_3}f(x)\,dx\approx {\frac{h}{3}} \cdot \left( f_1+4f_2+f_3 \right)
[/mm]
[mm] \int_{x_3}^{x_5}f(x)\,dx\approx {\frac{h}{3}} \cdot \left( f_3+4f_4+f_5 \right)
[/mm]
[mm] \int_{x_1}^{x_5}f(x)\,dx={\frac{h}{3}} \cdot \left( f_1+4f_2+\green{2}f_3+4f_4+f_5 \right)
[/mm]
Du siehst, die Verkettung ist ganz einfach und auf beliebig viele Stützstellen erweiterbar: Du brauchst ne ungrade Anzahl an Stützstellen, und multiplizierst deren Funktionswerte einfach mit
1, 4, 2, 4, 2, 4, ..., 2, 4, 1
|
|
|
|
