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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 24.08.2006 | | Autor: | Kathinka |
hallöchen :)
ich habe eine frage zu "oberen schranken", möchte mich vergewissern ob ich das thema richtig verstanden habe.
der begriff obere schranke kann auf zweierlei art verwendet werden, einmal gibt es z.b. eine obere schranke von einem graphen, einen y wert den der graph nicht erreicht.
zum zweiten kann eine obere schranke auch ein x wert sein der nicht erreicht wird.
gelten diese beiden varianten?
danke, katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Do 24.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Katja,
deine Auffassung von "oberer Schranke" ist sehr geprägt von der Vorstellung im Zusammnenhang mit Funktionen. Dort steht deine Vorstellung für Asymtoten des Graphen der Funktion.
Bsp: f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] auf dem offenen Intervall (0, + [mm] \infty [/mm] )
f(x) = 1 + [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] auf [mm] \IR
[/mm]
Allerdings verstehe ich deine Auffassung in bezug auf x, als Definitionslücke der Funktion.
Bsp: f(x) = ln (x) Welcher Defintionsbereich für x?!
Allgemein kann obere Schranke auch als Beschränktheit aufgefaßt werden, dass gilt auch für Folgen, Reihen, mehrdimensionale Mengen/Räume etc.
Hier sind dann nicht nur konkrete Werte möglich, sondern auch Funktionen die "Begrenzungen" darstellen. Oft interessiert dann nur eine gewissen Güte der Beschränktheit für ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, z.B. Cauchy-Folgen.
Sollte fürs erste reichen. Wenn du mehr Details wissen willst oder Unklarheiten sind einfach posten.
Alles Gute
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 24.08.2006 | | Autor: | Kathinka |
ok, dankeschön, dass mit den folgen reihen etc ist mir nun klarer. man kann auch sagen, dass eine funktion/reihe zwar ein supremum hat aber nicht zwangsläufig auch ein maximum, aber bei einem existierenden maximum immer auch ein supremum zwangsläufig existiert oder?
als weitere frage:
ich habe einen satz "supremumsaxiom": "jede nach oben beschränkte nicht-leere teilmenge a [mm] \subset \IR [/mm] besitzt ein supremum in [mm] \IR [/mm] "
dieser satz ist mir unklar, er soll den unterschied zwischen Q und R beschreiben aber wie?
lg katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 24.08.2006 | | Autor: | Kathinka |
dieser satz ist mir ebefalls völlig unklar - kann ihn mir einfach nicht verdeutlichen:
eine obere schranke s von a ist genau dann das supremum von a, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein x [mm] \in [/mm] A gibt mit x > s - [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katja!
> dieser satz ist mir ebefalls völlig unklar - kann ihn mir
> einfach nicht verdeutlichen:
>
> eine obere schranke s von a ist genau dann das supremum von
> a, wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein x [mm]\in[/mm] A gibt mit x
> > s - [mm]\varepsilon[/mm]
Das [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x > s - [mm] \varepsilon$ [/mm] heisst auf Deutsch gesagt, dass man sich mit Werten aus $A$ beliebig nahe an $s$ annaehern kann. Anders gesagt: Es gibt eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \in [/mm] A$, die gegen $s$ konvergiert.
Ein Supremum ist nach dem Satz also eine obere Schranke von $A$, an die man sich mit Werten aus $A$ beliebig nahe annaehern kann.
Ich finde den Beweis des Satzes auch recht anschaulich:
Wenn eine solche obere Schranke $s$ kein Supremum waere, dann wuerde es eine kleinere obere Schranke $s' < s$ von $A$ geben. Wenn es nun aber eine Folge [mm] $(a_n)_n$, $a_n \in [/mm] A$ gibt mit [mm] $a_n \to [/mm] s$, dann muss [mm] $a_n$ [/mm] fuer gross genuge $n$ immer $> s'$ sein! (Siehe Definition von Konvergenz von Folgen.) Das geht aber nicht, da $s'$ eine obere Schranke ist. Damit ist $s$ die kleinste obere Schranke von $A$.
Ist andersherum $s$ eine kleinste obere Schranke von $A$, und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig gewaehlt, so ist $s - [mm] \varepsilon [/mm] < s$ keine obere Schranke von $A$. Also gibt es ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x > s - [mm] \varepsilon$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katja!
> ok, dankeschön, dass mit den folgen reihen etc ist mir nun
> klarer. man kann auch sagen, dass eine funktion/reihe zwar
> ein supremum hat aber nicht zwangsläufig auch ein maximum,
> aber bei einem existierenden maximum immer auch ein
> supremum zwangsläufig existiert oder?
Genau: Jedes Maximum ist automatisch auch ein Supremum. Aber umgekehrt halt nicht.
> als weitere frage:
> ich habe einen satz "supremumsaxiom": "jede nach oben
> beschränkte nicht-leere teilmenge a [mm]\subset \IR[/mm] besitzt ein
> supremum in [mm]\IR[/mm] "
>
> dieser satz ist mir unklar, er soll den unterschied
> zwischen Q und R beschreiben aber wie?
In [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es beschraenkte Mengen, die kein Supremum haben. Etwa $M := [mm] \{ x \in \IQ \mid x^2 < 2 \}$. [/mm] Offensichtlich ist $M [mm] \subseteq [/mm] [-2, 2]$, also beschraenkt.
Angenommen, $m [mm] \in \IQ$ [/mm] sei ein Supremum von $M$. Da [mm] $\sqrt{2} \not\in \IQ$ [/mm] ist entweder $m < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] oder $m > [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Ist $m < [mm] \sqrt{2}$, [/mm] so gibt es (da [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt) eine Zahl $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $m < q < [mm] \sqrt{2}$, [/mm] und somit auch [mm] $q^2 [/mm] < 2$. Also liegt $q [mm] \in [/mm] M$, und somit ist $m$ doch keine obere Schranke gewesen, ein Widerspruch.
Also muss $m > [mm] \sqrt{2}$ [/mm] sein. Nach dem Satz aus deinem anderen Posting gibt es demnach mit [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \frac{1}{2}(m [/mm] - [mm] \sqrt{2})$ [/mm] ein $q [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $\sqrt{2} [/mm] < q < m$. Aber dann ist $2 < [mm] q^2$, [/mm] womit $q [mm] \not\in [/mm] M$ ist. Ebenfalls ein Widerspruch.
Also kann es kein Supremum $m$ geben.
Wenn du dir aber nun $M$ in [mm] $\IR$ [/mm] anschaust, siehst du sofort, dass [mm] $\sqrt{2} \in \IR$ [/mm] das Supremum von $M$ in [mm] $\IR$ [/mm] ist.
In [mm] $\IR$ [/mm] gibt es also immer ein Supremum (fuer beschraenkte Mengen), in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht immer!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Kathinka |
das nenn ich mal eine wirklich gelungene erklärung :) habs kapiert, vielen dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:51 Fr 25.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Katja,
hatte leider keine Zeit, um deine Fragen zu bantworten, aber das hat Felix auch sehr umfangreich und für dich wohl gut verständlich aufgeschrieben.
Dieses Prinzip der Einschnürung wirst du noch sehr häufig in der Mathematik wiederfinden. Insbesondere in der mehrdimensionalen Analysis im Zusammenhang mit dem Begriff Kompaktheit. Sollest du in Zukunft mal Fragen zu Begrifflichkeiten der Mathematik haben schreibe diese einfach. Gerade zu Beginn sind viele Begriffe verwirrend, ist mir nach der Schule auch an der Uni so gegangen. War fast einwenig erschrocken, was uns die Lehrer alles verschwiegen haben, z.B. [mm] \IC [/mm] .
Viel Spass mit dem Mathestudium.
Ron
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