offen u. abgeschlossene Mengen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei a<b und a,b [mm] \in [/mm] IR. Zeige:
a) das intervall (a,b) [mm] \subseteq [/mm] IR ist offen in IR.
b) Das Intervall [a,b] [mm] \subseteq [/mm] IR ist abgeschlossen.
c) Ist [mm] \bigcup_{n \in IN} [/mm] [0, 1-1/n] abgeschlossen in IR?
d) Ist [mm] \bigcap_{n \in IN} [/mm] (-1/n ; 1/n) offen in IR? |
zu a) Meine Idee:
Sei (a,b) [mm] \subseteq [/mm] IR und a<b, dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] (a,b):
M(x, min{x-a, b-x)}) [mm] \in [/mm] (a,b) und [mm] \varepsilon [/mm] = min{x-a,b-x} > 0. Also ist jedes x [mm] \in [/mm] (a,b) isolierter Punkt und damit (a,b) offen.
b) Finde ich keinen wirklichen Ansatz....
c) nach teil b) folgt, da 0<1-1/n gilt , dass die Menge abgeschlossen ist in IR.
d) Da stets -1/n < 1/n gilt folgt nach teil a), dass die menge offen ist in IR.
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Hiho,
> zu a) Meine Idee:
> Sei (a,b) [mm]\subseteq[/mm] IR und a<b, dann gilt für alle x
> [mm]\in[/mm] (a,b):
> M(x, min{x-a, b-x)}) [mm]\in[/mm] (a,b) und [mm]\varepsilon[/mm] = min{x-a,b-x} > 0.
Bis hierhin stimmt die Idee.
> Also ist jedes x [mm]\in[/mm] (a,b) isolierter Punkt
Die Folgerung macht nun keinen Sinn.
Ich hoffe du meinst "innerer Punkt".
> b) Finde ich keinen wirklichen Ansatz....
Zeige, dass das Komplement von [a,b] offen ist
> c) nach teil b) folgt, da 0<1-1/n gilt , dass die Menge abgeschlossen ist in IR.
Nein!
Da steht ja nicht nur das Intervall [mm] $\left[0,1 - \bruch{1}{n}\right]$ [/mm] sondern die Vereinigung über alle n!
Was kommt denn da als "Ergebnisintervall" heraus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 24.06.2012 | | Autor: | rollroll |
zu a) Ehrlich gesagt, meinte ich in der tat ,,isolierter Punkt'', verstehe jtzt aber dass das keinen Sinn macht. Allerding hatte ich den Begriff ,,innerer Punkt'' nocht nicht. Kann man das auch anders lösen?
zu c) Also als Ergbenisintervall würde ich [0,1) vorschlagen und bei d) Wäre das ergebnisintervall doch die leere menge, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu a) Ehrlich gesagt, meinte ich in der tat ,,isolierter
> Punkt'', verstehe jtzt aber dass das keinen Sinn macht.
> Allerding hatte ich den Begriff ,,innerer Punkt'' nocht
> nicht. Kann man das auch anders lösen?
? Deine Lösung ist doch O.K.
> zu c) Also als Ergbenisintervall würde ich [0,1)
> vorschlagen
Stimmt
> und bei d) Wäre das ergebnisintervall doch die
> leere menge, oder?
Nein. Die 0 liegt doch drin.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu a) Ehrlich gesagt, meinte ich in der tat ,,isolierter
> Punkt'', verstehe jtzt aber dass das keinen Sinn macht.
> Allerding hatte ich den Begriff ,,innerer Punkt'' nocht
> nicht. Kann man das auch anders lösen?
Deine Lösung war richtig. Hier mal die Erklärung: Ein isolierter Punkt ist etwa ein Punkt eines metrischen Raumes, der eine [mm] $\epsilon$-Umgebung ($\epsilon [/mm] > 0$) so hat, dass die einzigen Punkte des metrischen Raumes in der Umgebung er selbst ist - er "isoliert sich" quasi vom Rest. Beispiel: Wenn Du [mm] $\IN$ [/mm] als metrischen Raum betrachtest mit $d(n,m):=|n-m|$ für alle $(n,m) [mm] \in \IN \times \IN \cong \IN^2\,.$
[/mm]
(Wieso? Man kann sogar zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ unabhängig von [mm] $n\,$ [/mm] wählen: Etwa [mm] $\epsilon:=1/2\,.$)
[/mm]
Ein anderes Beispiel: Wieder setzen wir [mm] $d(x,y):=|x-y|\,,$ [/mm] und wir betrachten [mm] $(M,d)\,$ [/mm] mit [mm] $M:=\left\{\frac{1}{n}: n \in \IN\right\}\,.$ [/mm] Auch hier ist jeder Punkt von [mm] $M\,$ [/mm] isolierter Punkt - aber Du musst zu $n [mm] \in [/mm] M$ ein [mm] $\epsilon=\epsilon_n [/mm] > 0$ abhängig von [mm] $n\,$ [/mm] wählen!
Ein innerer Punkt einer Teilmenge eines metrischen Raumes ist ein solcher, der eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] so besitzt, dass die Umgebung um diesen Punkt (im metrischen Raum betrachtet!) ganz in der betrachteten Teilmenge liegt.
Von der Logik her war bei Dir alles okay - wenn Du die Bezeichnung "isolierter Punkt" durch "innerer Punkt" ersetzt, bist Du fertig - denn dann hast Du gezeigt, dass jeder Punkt der betrachteten Menge auch innerer Punkt der Menge ist. Das charakterisiert offene Mengen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
> Sei a<b und a,b [mm]\in[/mm] IR. Zeige:
> a) das intervall (a,b) [mm]\subseteq[/mm] IR ist offen in IR.
> b) Das Intervall [a,b] [mm]\subseteq[/mm] IR ist abgeschlossen.
> c) Ist [mm]\bigcup_{n \in IN}[/mm] [0, 1-1/n] abgeschlossen in IR?
> d) Ist [mm]\bigcap_{n \in IN}[/mm] (-1/n ; 1/n) offen in IR?
> zu a) Meine Idee:
> Sei (a,b) [mm]\subseteq[/mm] IR und a<b, dann gilt für alle x
> [mm]\in[/mm] (a,b):
> M(x, min{x-a, b-x)}) [mm]\in[/mm] (a,b) und [mm]\varepsilon[/mm] =
> min{x-a,b-x} > 0. Also ist jedes x [mm]\in[/mm] (a,b) isolierter
> Punkt und damit (a,b) offen.
> b) Finde ich keinen wirklichen Ansatz....
Du kannst hier auch zeigen, dass jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus [mm] $[a,b]\,,$ [/mm] die gegen ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert, schon den Schluss zuläßt, dass auch $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ liegen muss. Also:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine konvergente Folge in $[a,b],$ d.h.:
Seien [mm] $x_n \in [/mm] [a,b]$ so, dass es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, so dass [mm] $x_n \to x\,.$ [/mm] Angenommen, es wäre $x [mm] \notin [a,b]\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\epsilon:=\min\{|a-x|,\;\;|b-x|\}/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Folgere daraus nun einen Widerspruch. (Tipp: Man kann etwa zeigen, dass dann alle bis auf endlich viele Folgeglieder auch außerhalb von $[a,b]$ liegen müssten!)
Und zu c):
Wie Fred schon erwähnt hat, ist $0 [mm] \in (-1/n,\;1/n)$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und damit auch $0 [mm] \in \bigcap_{n \in \IN}(-1/n,\;1/n)\,.$ [/mm] Also gilt [mm] $\{0\} \subseteq \bigcap_{n \in \IN}(-1/n,\;1/n)\,.$ [/mm] Zeige halt noch $ [mm] \bigcap_{n \in \IN}(-1/n,\;1/n) \subseteq \{0\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 25.06.2012 | | Autor: | rollroll |
was ich bei c) und d) nicht ganz verstehe:
Es wurde schon gezeigt, dass der Durchschnitt von offenen mengen wieder offen ist in IR (bei endlichen Mengen). Und bei d) ist doch -1/n < 1/n also ist nach a) ist (-1/n, 1/n) offen, und mit dem Satz würde dann doch auch folgen, dass der Durchschnitt von (-1/n,1/n) offen ist. Das verstehe ich nicht ganz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was ich bei c) und d) nicht ganz verstehe:
> Es wurde schon gezeigt, dass der Durchschnitt von offenen
> mengen wieder offen ist in IR (bei endlichen Mengen).
das habt ihr mit Sicherheit nicht gezeigt. Aber selbst wenn ihr sowas gezeigt hättet, dann würde das nicht greifen, denn jedes Intervall der Form [mm] $(-1/n,\;\;1/n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist gleichmächtig zu [mm] $\IR\,,$ [/mm] und damit schonmal sicher nicht endlich.
Was ihr allerdings gezeigt habt, ist, dass der Durchschnitt über endlich viele offene Mengen wieder offen ist. Das ist was anderes:
Du behauptest, dass für jede Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] gilt, dass, wenn [mm] $A_i$ [/mm] für $i [mm] \in [/mm] I$ alle offen (in [mm] $\IR$) [/mm] sind und zudem alle [mm] $A_i$ [/mm] endlich (letzteres heißt [mm] $|A_i| [/mm] < [mm] \infty$) [/mm] sind, dass dann schon [mm] $\bigcap_{i \in I}A_i$ [/mm] offen ist. Diese Aussage ist schonmal Unsinn, denn das gilt nicht. Zumal gilt für [mm] $|(-1/n,\;\;1/n)|=\left|\left\{x \in \IR: -1/n < x < 1/n \right\}\right|=:a_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] sicher nie [mm] $a_n< \infty\,,$ [/mm] so dass, selbst, wenn diese Aussage gelten würde, die Du behauptest, hier nicht anwendbar wäre.
Was heißt nun "der Schnitt über endlich viele offene Mengen"? Das heißt:
Sind die [mm] $A_i$ [/mm] für $i [mm] \in [/mm] I$ alle offen in [mm] $\IR$ [/mm] und ist $|I| < [mm] \infty\,,$ [/mm] dann ist
[mm] $$\bigcap_{i \in I}A_i$$
[/mm]
offen in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Bei Dir: Mit [mm] $A_n:=(-1/n,\;\;1/n)=\{x \in \IR: -1/n < x < 1/n\}$ [/mm] und [mm] $I:=\IN$ [/mm] sind die [mm] $A_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] I$ offen in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Nun hast Du aber
[mm] $$\bigcap_{i \in \IN} A_i$$
[/mm]
zu betrachten. Wie soll Dir der Satz dann helfen: Ist [mm] $I:=\IN$ [/mm] in Deinen Augen etwa endlich?
P.S.
Beachte auch: [mm] $(-1/n,\;\;1/n)=]-1/n,\;\;1/n[=\{x \in \IR: -1/n < x < 1/n\}$ [/mm] ist ein offenes Intervall in [mm] $\IR$ [/mm] - nicht irgendein Punkt des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm]
Also Fazit:
Wenn Du die Folgerung "Der Schnitt über endlich viele offene Mengen ist offen" benutzen willst, und Dir Mengen [mm] $A_i$ [/mm] für [mm] $i\,$ [/mm] aus einer Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] vorliegen, dann prüfst Du:
1.) Ist [mm] $I\,$ [/mm] eine endliche Indexmenge?
(Und nicht: Ist für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ die Menge [mm] $A_i$ [/mm] endlich?)
Falls ja, dann prüfst Du
2.) Ist bzgl. der endlichen Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] nun jedes [mm] $A_i$ [/mm] auch offen?
Falls 1.) und 2.) gelten, dann weißt Du, dass [mm] $\bigcap_{i \in I}A_i$ [/mm] offen ist.
Somit wüßtest Du etwa:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $\bigcap_{k=1}^n (-1/k,\;\;1/k)$ [/mm] offen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | rollroll |
also bei b) hab ich jetzt:
Sei [mm] (x_n)_n [/mm] eine konvergente Folge in [a,b]
> > Seien [mm]x_n \in [a,b][/mm] so, dass es ein [mm]x \in \IR[/mm] gibt, so
> dass [mm]x_n \to x\,.[/mm]
Angenommen, es wäre [mm]x \notin [a,b]\,.[/mm]
> Dann ist [mm]\epsilon:=\min\{|a-x|,\;\;|b-x|\}/2 > 0\,.[/mm] >
Dann müssten aber auch alle bis auf endlich viele Folgeglieder > außerhalb von [mm][a,b][/mm]
--> Widerspruch
bei c) das Ergebnisintervall [0,1) und bei d) das ergebnisintervall {0}.
Das habe ich jeweils mit den beiden Iklusionsrichtungen gezeigt.
Wie kann ich jetzt bei c) und d) folgern, ob die mengen abgeschlossen / offen sind?
Bei c) ist der Häufungspunkt ja 1, aber 1 liegt ja nicht im Ergebnisintervall , folgt dann, dass die menge offen ist?
bei d) ist ja 0 der Häufungspunkt und da das Ergebnisintervall nur aus der 0 besteht , ist die menge abgeschlossen.
Geht das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 26.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo rollroll,
> also bei b) hab ich jetzt:
>
> Sei [mm](x_n)_n[/mm] eine konvergente Folge in [a,b]
> > > Seien [mm]x_n \in [a,b][/mm] so, dass es ein [mm]x \in \IR[/mm] gibt,
> so
> > dass [mm]x_n \to x\,.[/mm]
> Angenommen, es wäre [mm]x \notin [a,b]\,.[/mm]
> > Dann ist [mm]\epsilon:=\min\{|a-x|,\;\;|b-x|\}/2 > 0\,.[/mm] >
> Dann müssten aber auch alle bis auf endlich viele
> Folgeglieder > außerhalb von [mm][a,b][/mm]
> --> Widerspruch
das stimmt schon, aber Du hast den Beweis nicht vollständig - sondern bisher einfach nur das meinige zusamengefasst. Du musst schon zeigen, dass auch alle bis auf endlich viele Folgenglieder außerhalb von $[a,b]$ liegen. Dazu mach' halt eine Fallunterscheidung: 1. Fall: Sei $x < [mm] a\,.$ [/mm] 2. Fall: Sei $x > [mm] b\,.$ [/mm] Zeige dann im ersten Fall, dass fast alle Folgenglieder auch $< [mm] a\,$ [/mm] sind, und im zweiten, dass fast alle $> [mm] b\,$ [/mm] sind. Meinetwegen kannst Du auch das [mm] $\varepsilon$ [/mm] in dem jeweiligen Fall ein wenig genauer hinschreiben!
Was ich z.B. gezeigt hätte, ist, dass [mm] $|x_n-a|$ [/mm] oder aber [mm] $|x_n-b|$ [/mm] bei der obigen Wahl $> |b-a|$ für ein (und sogar fast alle) [mm] $n\,$ [/mm] ist. Daraus folgt dann, dass [mm] $x_n \notin [a,b]\,,$ [/mm] was ein Widerspruch ist!
> bei c) das Ergebnisintervall [0,1) und bei d) das
> ergebnisintervall {0}.
> Das habe ich jeweils mit den beiden Iklusionsrichtungen
> gezeigt.
> Wie kann ich jetzt bei c) und d) folgern, ob die mengen
> abgeschlossen / offen sind?
> Bei c) ist der Häufungspunkt ja 1,
Nein, $[0,1)$ hat doch verdammt viele Häufungspunkte: Nämlich alle aus dem Intervall [mm] $[0,1]\,.$
[/mm]
> aber 1 liegt ja nicht
> im Ergebnisintervall , folgt dann, dass die menge offen
> ist?
Nein. Du kannst so aber erstmal sehen, dass die Menge nicht abgeschlossen ist: Denn mit [mm] $x_n:=1-1/n$ [/mm] ist eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in der Menge gefunden, die in [mm] $\IR$ [/mm] gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergiert: [mm] $x_n \to 1\,,$ [/mm] aber $1 [mm] \notin [0,1)\,.$
[/mm]
Sie kann aber auch nicht offen sein. Das siehst Du beispielsweise, indem Du Dir überlegst, ob es eine Umgebung [mm] $U_\epsilon(0)=\{r \in \IR: |0-r| < \epsilon\}$ [/mm] (mit [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) so geben kann, dass [mm] $U_\epsilon(0)$ [/mm] ganz in [mm] $[0,1)\,$ [/mm] fällt. Oder Du schaust Dir das Komplement (in [mm] $\IR$) [/mm] von $[0,1)$ an: Wäre [mm] $[0,1)\,$ [/mm] offen, so wäre [mm] $\IR \setminus [/mm] [0,1)$ abgeschlossen...
> bei d) ist ja 0 der
einzige!
> Häufungspunkt
edit: Siehe Constantins Hinweis: Berührpunkt!
> und da das
> Ergebnisintervall nur aus der 0 besteht , ist die menge
> abgeschlossen.
> Geht das so?
Ja. Hier kannst Du auch sagen: Bekanntlich ist jedes Intervall $[a,b] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] mit $a [mm] \le [/mm] b$ abgeschlossen - und es ist [mm] $\{0\}=[0,0]\,.$ [/mm] Oder Du sagst: Es ist [mm] $\{0\}^C=\IR \setminus \{0\}=(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ [/mm] offen, da (beliebige) Vereinigungen offener Mengen offen sind.
Aber fast noch banaler:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\{0\}\,,$ [/mm] die gegen ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert, so hätten wir $x [mm] \in \{0\}$ [/mm] nachzuweisen. Aber wie sehen denn überhaupt Folgen in [mm] $\{0\}$ [/mm] aus? Die sind ziemlich trivial (und hier sogar stets konvergent)...
P.S.
Wie Teil c) zeigt, gibt es neben den abgeschlossenen und offenen Mengen auch Mengen, die WEDER offen NOCH abgeschlossen sind. (Damit ist auch die Ausgangsfrage zu c), die in der Aufgabe steht, mitbeantwortet!)
Es gibt auch Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind (bspw. [mm] $\IR$).
[/mm]
Die Antwort zu Aufgabe d):
Die Menge ist abgeschlossen. Damit ist aber noch nicht ausgeschlossen, dass sie auch offen ist (jedenfalls nicht, wenn ihr nicht mehr Hintergrundwissen zur Verfügung stehen habt). Aber warum ist [mm] $\{0\}$ [/mm] wohl nicht offen? (Ein schnelles Argument: Wäre [mm] $\{0\}$ [/mm] offen, dann wäre [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] abgeschlossen. Ist [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] abgeschlossen? (Bitte nicht mit "Nein, sondern offen!" antworten, denn da es Mengen gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, reicht das nicht als Begründung!))
Gruß,
Marcel
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Frage zur d)
Ist 0 überhaupt Häufungspunkt von {0} ?
es muss doch gelten :
für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] U_{\varepsilon} [/mm] (0) [mm] \cap [/mm] ({0} \ {0}) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
aber {0} \ {0} = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] also:U_{\varepsilon} [/mm] (0) [mm] \cap [/mm] ({0} \ {0}) = [mm] \emptyset [/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Frage zur d)
>
> Ist 0 überhaupt Häufungspunkt von {0} ?
> es muss doch gelten :
> für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> [mm]U_{\varepsilon}[/mm] (0) [mm]\cap[/mm] ({0} \ {0}) [mm]\not= \emptyset[/mm]
> aber
> {0} \ {0} = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]also:U_{\varepsilon}[/mm] (0) [mm]\cap[/mm] ({0} \ {0}) = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0.
Danke für's aufmerksame mitlesen: Natürlich sollte ich Berührpunkt schreiben, wenn ich Berührpunkt meine. [mm] $\{0\}$ [/mm] hat natürlich keinen Häufungspunkt, sondern [mm] $0\,$ [/mm] als einzigen Berührpunkt!
Ich werde das korrigieren!
Gruß,
Marcel
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Ich wollte mal nachfragen, ob man die a) und b) auch so lösen kann:
a) wir wissen: inf(a,b) =a und a [mm] \not\in [/mm] (a,b)
sup(a,b) =b und b [mm] \not\in [/mm] (a,b)
Da a= inf(a,b)
[mm] \Rightarrow U_{\varepsilon}(a) \cap [/mm] (a,b) [mm] \not= \emptyset [/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0
Da b=sup(a,b)
[mm] \Rightarrow U_{\varepsilon}(b) \cap [/mm] (a,b) [mm] \not= \emptyset [/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0
a,b [mm] \in \IR [/mm] sind Häufungspunkte von (a,b),liegen aber nicht in (a,b)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) ist offen in [mm] \IR
[/mm]
b)
Angenommen: Es gibt Häufungspunkt x [mm] \not\in [/mm] [a,b] von [a,b],
dann: [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] [a,b] [mm] \not= \emptyset \forall \varepsilon [/mm] >0
Wähle: [mm] \varepsilon:= [/mm] min {|a-x|,|b-x|}/2 >0
dann: [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] liegt außerhalb von [a,b]
also [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] [a,b] = [mm] \emptyset
[/mm]
Widerspruch zur Annahme.
[mm] \Rightarrow [/mm] [a,b] ist abgeschlossen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich wollte mal nachfragen, ob man die a) und b) auch so
> lösen kann:
>
> a) wir wissen: inf(a,b) =a und a [mm]\not\in[/mm] (a,b)
> sup(a,b) =b und b [mm]\not\in[/mm] (a,b)
> Da a= inf(a,b)
> [mm]\Rightarrow U_{\varepsilon}(a) \cap[/mm] (a,b) [mm]\not= \emptyset[/mm]
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0
> Da b=sup(a,b)
> [mm]\Rightarrow U_{\varepsilon}(b) \cap[/mm] (a,b) [mm]\not= \emptyset[/mm]
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0
> a,b [mm]\in \IR[/mm] sind Häufungspunkte von (a,b),liegen aber
> nicht in (a,b)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) ist offen in [mm]\IR[/mm]
Warum ? Du hast nur 2 Häufungspunkte von (a,b) ausfindig gemacht, die nicht zu (a,b) gehören.
>
> b)
> Angenommen: Es gibt Häufungspunkt x [mm]\not\in[/mm] [a,b] von
> [a,b],
> dann: [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] [a,b] [mm]\not= \emptyset \forall \varepsilon[/mm]
> >0
> Wähle: [mm]\varepsilon:=[/mm] min {|a-x|,|b-x|}/2 >0
> dann: [mm]U_{\varepsilon}(x)[/mm] liegt außerhalb von [a,b]
> also [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] [a,b] = [mm]\emptyset[/mm]
> Widerspruch zur Annahme.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [a,b] ist abgeschlossen
Das ist O.K.
FRED
>
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ok, hab mir gerade wieder das Lemma dazu durchgelsen.
Ich hab bei a) also nichts weiter gemacht, als gezeigt, dass das Intervall nicht abgeschlossen ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok, hab mir gerade wieder das Lemma dazu durchgelsen.
> Ich hab bei a) also nichts weiter gemacht, als gezeigt,
> dass das Intervall nicht abgeschlossen ist.
So ist es.
FRED
>
>
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Dann mal wieder a)
(a,b) [mm] \subseteq [/mm] und a<b
dann gilt für ein x [mm] \in [/mm] (a,b):
[mm] \exists \varepsilon [/mm] >0 mit [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap \IR \subseteq [/mm] (a,b)
denn : wähle [mm] \varepsilon [/mm] := min{x-a,b-x}/2 >0
[mm] dann:U_{\varepsilon}(x) \cap \IR [/mm] =[x- min{x-a,b-x}/2,x+min{x-a,b-x}/2] [mm] \subseteq [/mm] (a,b)
also : (a,b) offen in [mm] \IR
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann mal wieder a)
>
> (a,b) [mm]\subseteq[/mm] und a<b
> dann gilt für ein x [mm]\in[/mm] (a,b):
> [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0 mit [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap \IR \subseteq[/mm]
> (a,b)
> denn : wähle [mm]\varepsilon[/mm] := min{x-a,b-x}/2 >0
> [mm]dann:U_{\varepsilon}(x) \cap \IR[/mm] =[x-
> min{x-a,b-x}/2,x+min{x-a,b-x}/2] [mm]\subseteq[/mm] (a,b)
> also : (a,b) offen in [mm]\IR[/mm]
>
O.K.
FRED
>
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> zu a) Meine Idee:
> Sei (a,b) [mm]\subseteq[/mm] IR und a<b, dann gilt für alle x
> [mm]\in[/mm] (a,b):
> M(x, min{x-a, b-x)}) [mm]\in[/mm] (a,b) und [mm]\varepsilon[/mm] =
> min{x-a,b-x} > 0. Also ist jedes x [mm]\in[/mm] (a,b) isolierter
innerer Punkt
> Punkt und damit (a,b) offen.
Ich hab hierzu auch mal noch eine Frage:
Was genau heißt: M(x, min{x-a, b-x)}) ?
und wenn ich mein [mm] \varepsilon [/mm] := min{x-a,b-x} wähle,
liegt dann nicht der ein Rand der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] auf der Intervallgrenze von (a,b) und somit würde
[mm] U_{\varepsilon}(x) \cap \IR \subseteq [/mm] (a,b)
gar nicht gelten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > zu a) Meine Idee:
> > Sei (a,b) [mm]\subseteq[/mm] IR und a<b, dann gilt für alle x
> > [mm]\in[/mm] (a,b):
> > M(x, min{x-a, b-x)}) [mm]\in[/mm] (a,b) und [mm]\varepsilon[/mm] =
> > min{x-a,b-x} > 0. Also ist jedes x [mm]\in[/mm] (a,b) isolierter
> innerer Punkt
>
> > Punkt und damit (a,b) offen.
>
>
> Ich hab hierzu auch mal noch eine Frage:
> Was genau heißt: M(x, min{x-a, b-x)}) ?
er meint sicher [mm] ${U_\min\{x-a,b-x\}}(x)\,,$ [/mm] und er meinte sicher, dass diese Menge [mm] $\red{\subseteq}\;\; [/mm] (a,b)$ sei!
> und wenn ich mein [mm]\varepsilon[/mm] := min{x-a,b-x} wähle,
> liegt dann nicht der ein Rand der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] auf
> der Intervallgrenze von (a,b)
Ja!
> und somit würde
> [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap \IR \subseteq[/mm] (a,b)
> gar nicht gelten ?
Warum denn nicht? Kein Element des Randes von [mm] $U_{\varepsilon}(x)$ [/mm] gehört doch zu [mm] $U_{\varepsilon}(x)\,.$ [/mm] Also beispielsweise:
Der Rand von [mm] $(a,b)\,$ [/mm] (für $a [mm] \le [/mm] b$) ist ja gerade [mm] $\{a,b\}\,,$ [/mm] und weder [mm] $a\,$ [/mm] noch [mm] $b\,$ [/mm] gehören zu [mm] $(a,b)\,.$
[/mm]
Kurz: [mm] $U_{\varepsilon}(x) \setminus \partial U_{\varepsilon}(x)=U_{\varepsilon}(x)\,.$
[/mm]
Am besten machst Du Dir das erstmal im [mm] $\IR^2$ [/mm] klar, weil man das da irgendwie schöner ausdrücken kann:
Wenn man die Menge [mm] $U_{R}((x_1,x_2)):=\{y=(y_1,y_2) \in \IR^2: \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} < R\}$ [/mm] (mit $R > [mm] 0\,$ [/mm] - und ich betrachte dort "die euklidische Standardmetrik, also die durch die euklidische Norm induzierte Metrik" - weil sie "der Anschauung entspricht") betrachtet, so ist das eine Kreisscheibe mit Radius [mm] $R\,$ [/mm] um den Punkt [mm] $(x_1,x_2)\,.$ [/mm] Aber kein Element der Kreislinie [mm] $\{y=(y_1,y_2) \in \IR^2: \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} = R\}$ [/mm] kann zu [mm] $U_{R}((x_1,x_2))$ [/mm] gehören. Mit anderen Worten:
[mm] $U_{R}((x_1,x_2))$ [/mm] ist "die offene Keisscheibe um [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] mit Radius [mm] $R\,.$"
[/mm]
Gruß,
Marcel
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