offene Menge, mit Intervallen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeige W Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist genau dann offen, wenn W (höchstens) abzählbare vereinigung disjunkter offener Intervalle ist
(Hinweis: Relation auf W defeniert durch x ~ y, falls es ein offenes Intervall I mit
{x,y} [mm] \subseteq [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] W gibt, zeige ~ ist eine Äquivalenzrelation und betrachte die Klassen) |
< = ist kar
=>
-) transitiv
x~ y , y~ z => x ~ z
Folgt da die vereinigung offener Mengen offen sind. Man vereinigt die zwei offenen Intervalle zu einem großen offenen Intervall, was dann nach konstruktion x und z erhält
-) symmetrisch
x ~ y => y ~ x
Wenn ein Intervall {x,y} enthält, enthält es auch {y,x}, ist ja dasselbe.
-) x ~x
In der offenen Menge W kann man immer ein offenes Intervall kontruieren, dass x enthält und ganz in W liegt
=> Äquivalenzrelation
Für x [mm] \in [/mm] W defeniere:
a(x) = inf [mm] \{ a \in \IR : (a,x] \in W \} [/mm]
b(x) = inf [mm] \{ b \in \IR : [x,b) \in W \} [/mm]
[mm] I_x [/mm] = (a(x), b(x))
Äquivalenzklassen:
2 Punkte gehören in dieselbe Äquivalenzklasse, wenn sie im selben offenen Intervall I [mm] \subseteq [/mm] W liegen.
d.h. Zwei Intervalle (a(x), b(x)) und (a(y), b(y)) mit x,y [mm] \in [/mm] W gehören zur selben Äquivalenzklasse wenn (a(x), b(x)) = (a(y), b(y)). Aus jeder Äquivalenzklasse der so induzierten Äquivalenzrelation auf W einen rationalen Repräsentaten wählen -> höchstens abzählbar viele Äquivalenzklassen da Q abzählbar ist und disjunkt da es eine Eigenschaft der Äquivalenzklassen ist.
Frage:Hab ich die Äquivalenklasse der Äquivalenzrelation richtig verstanden?
Frage: Warum soll nun gelten [mm] \bigcup_{J \in J}((a(x_j) [/mm] , [mm] b(x_j)) [/mm] = W
|
|
| |
|
Hallo,
> Zeige W Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist genau dann offen, wenn W
> (höchstens) abzählbare vereinigung disjunkter offener
> Intervalle ist
> (Hinweis: Relation auf W defeniert durch x ~ y, falls es
> ein offenes Intervall I mit
> {x,y} [mm]\subseteq[/mm] I [mm]\subseteq[/mm] W gibt, zeige ~ ist eine
> Äquivalenzrelation und betrachte die Klassen)
> < = ist klar
Ja, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.
> =>
>  transitiv
> x~ y , y~ z => x ~ z
> Folgt da die vereinigung offener Mengen offen sind. Man
> vereinigt die zwei offenen Intervalle zu einem großen
> offenen Intervall, was dann nach konstruktion x und z
> erhält
Der erste Satz "Folgt da die vereinigung offener Mengen offen sind." passt hier nicht so gut. Es geht hier ja um viel speziellere offene Mengen, nämlich offene Intervalle.
Du solltest deine Idee lieber explizit aufschreiben.
Sei [mm] $I_1 [/mm] = [mm] (a_1,b_1) \subset [/mm] W$ das Intervall mit $x,y [mm] \in I_1.$
[/mm]
Sei [mm] $I_2 [/mm] = [mm] (a_2,b_2) \subset [/mm] W$ das Intervall mit $y,z [mm] \in I_2.$
[/mm]
Wegen $y [mm] \in I_1, I_2$ [/mm] muss [mm] $I_1 \cap I_2 \not= \emptyset$ [/mm] sein.
Daher ist $I := [mm] I_1 \cup I_2 [/mm] = [mm] (\min(a_1,a_2), \max(b_1,b_2)) \subset [/mm] W$ ebenfalls ein offenes Intervall mit $x,y,z [mm] \in [/mm] I$, also $x [mm] \sim [/mm] z$.
> -) symmetrisch
> x ~ y => y ~ x
> Wenn ein Intervall {x,y} enthält, enthält es auch {y,x},
> ist ja dasselbe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> -) x ~x
> In der offenen Menge W kann man immer ein offenes
> Intervall kontruieren, dass x enthält und ganz in W liegt
Explizit hinschreiben!
W ist offen, $x [mm] \in [/mm] W$ --> [mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] (x-\varepsilon, [/mm] x+ [mm] \varepsilon) \subset [/mm] W$.
> => Äquivalenzrelation
Die zentralen Argumente des folgenden Beweises (die alle bei dir vorkommen) sind die Folgenden:
1) Die Äquivalenzklassen sind disjunkt.
2) Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ergibt W.
3) Eine Äquivalenzklasse ist ein offenes Intervall.
4) In jedem offenen Intervall in [mm] \IR [/mm] befindet sich eine rationale Zahl.
Beweise:
1),2) ist eine Konsequenz aus der Theorie der Äquivalenzrelationen.
4) ist klar.
Bleibt noch 3): Da kannst du so vorgehen wie du es hier machst:
> Für x [mm]\in[/mm] W defeniere:
> a(x) = inf [mm]\{ a \in \IR : (a,x] \in W \}[/mm]
> b(x) = inf [mm]\{ b \in \IR : [x,b) \in W \}[/mm]
> [mm]I_x[/mm] = (a(x), b(x))
Diese [mm] $I_x$ [/mm] sind dann gerade die Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. der Relation [mm] $\sim$.
[/mm]
> Äquivalenzklassen:
> 2 Punkte gehören in dieselbe Äquivalenzklasse, wenn sie
> im selben offenen Intervall I [mm]\subseteq[/mm] W liegen.
> d.h. Zwei Intervalle (a(x), b(x)) und (a(y), b(y)) mit x,y
> [mm]\in[/mm] W gehören zur selben Äquivalenzklasse wenn (a(x),
> b(x)) = (a(y), b(y)).
Ja.
-----
Der eigentliche Beweis ist nun die Zusammenfassung von 1,2,3,4.
Wir stellen W dar als Vereinigung der disjunkten (siehe 1) und abzählbar vielen (siehe 4) Äquivalenzklassen, was offene Intervalle sind (siehe 3).
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mo 11.03.2013 | | Autor: | theresetom |
Vielen lieben Dank für die erklärungen!
Toll..!
lg
|
|
|
|
