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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Welche der folgenden Menge sind offen in [mm] \IR^2
[/mm]
(a) [mm] \{(x,y) | x^3-y^2 < 1\}
[/mm]
(b) [mm] \{(x,y) | y \ge 0\}
[/mm]
(c) [mm] \{(x,x) | x \in \IR\}
[/mm]
(d) [mm] \{(x,y) | x \in\IQ\}
[/mm]
(c) (0,1) x (0,1) |
Ich habe hier wohl einfach Vorstellungsprobleme was den [mm] \IR^2 [/mm] betrifft.
(a)
eigentlich sollte ich mir das doch in der Zeichenebene vorstellen können jedoch ist das find ich etwas kompliziert ...
nehme ich einen wert < 1 für beide gilt die Bediungung immer
wenn ich einen Wert >|1| für y festsetze muss für x gelten: x < [mm] \wurzel[3]{1+y^2} [/mm] also ja eigentlich unbeschränkt..
nehme ich einen wert >1 für x fest habe ich dass y > [mm] \wurzel{-1+x^3} [/mm] also doch eigentlich auch unbeschränkt?
und für x<-1 hat y auch keine schranke
Damit sollte die Menge eigentlich offen sein oder?
Kann ich nicht auch einfacher Argumentieren?
(b)
hier ist die Vorstellung bzgl der Zeichenebene recht einfach:
Die obere Hälfte der Ebene. da das Komplement dazu: [mm] \{(x,y) | y < 0\} [/mm] offen ist sollte die Menge abgeschlossen sein oder?
(c)
Hier ist die Menge ja gerade der ganze [mm] \IR^2 [/mm] ... dieser ist jedoch wie [mm] \IR^1 [/mm] bzgl sich selbst sowohl offen als auch abgeschlossen oder?
(d)
Hier würde ich argumentieren wie im 1-dim bei [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] ... also, dass sich eine Folge mit rationalen Gleidern und einem irrationalen GW finden lässt.
(e)
hier würde ich einfach das Komplement bilden: [mm] \IR\backslash \(0,1) [/mm] x [mm] \IR\backslash \(0,1) [/mm] und damit ein Kreuzprodukt zweier abgeschlossener Mengen und damit sollte die gegebene Menge eigentlich offen sein oder?
Über korrekturen bzw. Anstöße zur Vorstellung wäre ich sehr dankbar
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 17.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
a) Hab ich nich genau nachgerechnet. Wegen dem "<" würd ich stark auf offen tippen, aber wie gesagt.... habs nich genau nachgerechnet.
Deine Argumentation mit dem unbeschränkt ist aber nicht richtig. Wenn da ein "<=" stehen würde, dann könnteste genauso umstellen und sagen, dass es dann unbeschränkt ist, aber die Menge wäre wohl nicht mehr offen.
Versuch lieber einfach zu zeigen, dass es um jeden Punkt der Menge einen [mm] \varepsilon-Ball [/mm] gibt, der komplett in der Menge liegt.
b) Richtig.
c) Nein, die Menge enthält alle Punkte bei denen x- und y-Wert übereinstimmen; es ist also die Diagonale in der Ebene.
Diese ist nicht offen, da jeder Ball um einen Punkt der Menge auch automatisch Punkte enthält, die nicht in der Menge sind.
d) Ich versteh nicht, was du mit Grenzwerten hierbei anfangen willst.
Es ist dieselbe Argumentation wie bei c) - jeder Ball enthält automatisch auch Punkte, die nicht in der Menge sind.
e) Wesentlich einfacher ist es, wenn du einfach zu jedem Punkt der Menge ein [mm] \varepsilon [/mm] angibst, so dass der [mm] \varepsilon-Ball [/mm] um den Punkt komplett in der Menge liegt.
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