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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - offene Mengen\ Metriken
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offene Mengen\ Metriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Do 29.07.2010
Autor: vierg

Aufgabe
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Abbildung
m:X x X->R, m(x,y):=min(d(x,y),1),
eine Metrik auf X ist und dass die Metriken d und m die selben offenen Mengen auf X definieren.

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

ich habe hier eine Aufgabe aus dem Forster Ana 2.
Das m eine Metrik ist hab ich schon gezeigt.
Aber bei dem zweiten Teil der Aufgabe komme ich nicht so ganz weiter.

Ich nehme mir also eine offene Menge U bzgl. m her. Dann ex. ja ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] s.d. [mm] B\varepsilon(a) [/mm] Teilmenge dieser offenen Menge ist, für alle [mm] a\in [/mm] U. Nun muss ich doch aber eine Fallunterscheidung machen, oder?
Wenn [mm] \varepsilon< [/mm] 1 ist, dann ist die Umgebung [mm] B'\delta(a) [/mm] bzgl.  d mit [mm] \delta=\varepsilon [/mm] auch Teilmenge von U. Aber wenn [mm] \varepsilon>=1 [/mm] ist, dann ist [mm] B\varepsilon(a) [/mm] bzgl. m ja der ganze Raum, oder? Kann ich dann [mm] \delta [/mm] einfach unendlich setzen oder wie?

mfg
vierg

        
Bezug
offene Mengen\ Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Do 29.07.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

nicht so kompliziert denken :-)
Existiert ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 1$, so dass [mm] $B_\varepsilon(a)$ [/mm] komplett in U liegt, so gilt es doch insbesondere auch für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$
Und da dir die Existenz eines [mm] \varepsilon [/mm]  ausreicht, nimmst du dir einfach nur eins kleiner 1.

D.h. du kannst einfach argumentieren: Sei U offen, dann existiert oBdA [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$..... etc

MFG,
Gono.

Bezug
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