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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 19.10.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Mengen
[mm] $U:=\left\{z\in\mathbb{C}|Re z
offen bzw. abgeschlossen bzgl. der euklidischen Topologie sind.
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Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe nicht so richtig weiter. Intuitiv würde ich sagen, dass U offen und V weder offen noch abgeschlossen ist.
Zu U:
Sei [mm] $z\in [/mm] U$ ein Punkt in $U$. Ich bin versucht die Hausdorff-Eigenschaft auszunutzen: zu $z$ und $(a,0)$ gibt es zwei Umgebungen, die disjunkt sind. Nur ist die Umgebung von $z$ dann wieder in $U$ und wie könnte ich das zeigen?
Zu V:
Sei $z=(1,0)$ eine Zahl in $V$ und [mm] $U_{\epsilon}(z)$ [/mm] eine beliebige Epsilon-Umgebung von $z$. Hier müsste ich zeigen, dass in jeder Epsilon-Umgebung eine Zahl liegt, die nicht in V enthalten ist (wenn ich mich auf die reelle Zahlen beschränken würde, wäre es ja kein Problem, aber ich fürchte dass die Umgebungen dann nicht notwendig auch in [mm] $\mathbb{V}$ [/mm] Umgebungen darstellen.
Vielen Dank für Eure Hinweise und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 19.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Untersuchen Sie, ob die Mengen
> [mm]U:=\left\{z\in\mathbb{C}|Re z
> [mm]V:=\left\{z\in\mathbb{C}|0<|z|\leq 1\right\}[/mm]
> offen bzw. abgeschlossen bzgl. der euklidischen Topologie sind.
Betrachte die stetige Funktion [mm] $f:\IC\ni z\mapsto \operatorname{Re} z\in\IR$. [/mm] Es ist [mm] $U=f^{-1}((-\infty,a))$ [/mm] das Urbild einer offenen Menge, also offen.
Bei $V$ hast du die Situation schon richtig erkannt, das is weder offen noch abgeschlossen. Jeder [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] um [mm] $(1,0)\in [/mm] V$ enthält ja auf jeden Fall den Punkt [mm] $(1+\varepsilon/2,0)\not\in [/mm] V$, also kann $V$ nicht offen sein. Umgekehrt kann auch das Komplement [mm] $V^c$ [/mm] nicht offen sein, denn es ist [mm] $(0,0)\in V^c$ [/mm] und jeder hinreichend kleine [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] um $(0,0)$ enthält den Punkt [mm] $(\varepsilon/2,0)\not\in V^c$.
[/mm]
Gruß, Robert
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