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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man untersuche,ob die folgenden Teilmengen offen,abgeschlossen oder keines von beiden sind und beweise dies.
a) [mm] \{x \in \IR;x \le 4\} \subset \IR
[/mm]
b) [mm] \IR\backslash \IZ \subset \IR
[/mm]
c) [0,2[ [mm] \subset \IR
[/mm]
d) [0,2[ [mm] \subset \{x \in \IR;x \ge 0\}
[/mm]
e) [mm] \{(x,y) \subset \IR^{2}; x>2,y \ge 3\} \subset \IR^{2} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich habe diese Mengen untersucht, aber mit den Beweisen habe ich Probleme. Wir habe offen und abgeschlossen so definiert:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
Eine Menge A heißt offen, falls jeder Punkt von A ein innerer Punkt ist.
Eine Menge A heißt abgeschlossen falls A'=A mit [mm] A':=\{x \in X: \forall \varepsilon >0:K(x,\varepsilon) \cap A \not=\emptyset \}
[/mm]
a) Hier ist ein offenes Intervall,also würde ich sagen,dass es eine offene Menge ist.Aber wegen der Definition ist es vielleicht doch keine, denn die 4 selbst ist kein innerer Punkt. Abgeschlossen ist sie aber auch nicht. Also ist sie keins von beiden?
b) Hier hab ich nicht abgeschlossen,aber offen.
c) Offen ist sie nicht, da die 1 kein innerer Punkt ist und abgeschlossen ist sie auch nicht.
d) Ist offen.
e) nicht offen und nicht abgeschlossen.
Stimmt das erstmal so alles?
Vielen Dank
lg
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Moin,
> Man untersuche,ob die folgenden Teilmengen
> offen,abgeschlossen oder keines von beiden sind und beweise
> dies.
>
> a) [mm]\{x \in \IR;x \le 4\} \subset \IR[/mm]
> b) [mm]\IR\backslash \IZ \subset \IR[/mm]
>
> c) [0,2[ [mm]\subset \IR[/mm]
> d) [0,2[ [mm]\subset \{x \in \IR;x \ge 0\}[/mm]
>
> e) [mm]\{(x,y) \subset \IR^{2}; x>2,y \ge 3\} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe diese Mengen untersucht, aber mit den Beweisen
> habe ich Probleme. Wir habe offen und abgeschlossen so
> definiert:
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
> Eine Menge A heißt offen, falls jeder Punkt von A ein
> innerer Punkt ist.
> Eine Menge A heißt abgeschlossen falls A'=A mit [mm]A':=\{x \in X: \forall \varepsilon >0:K(x,\varepsilon) \cap A \not=\emptyset \}[/mm]
>
> a) Hier ist ein offenes Intervall,
Nein, es ist ein halboffenes. Die rechte Intervallgrenze 4 gehört zur Menge. EDIT: Daher ist es ein 'linkseitig unendliches abgeschlossenes Intervall'. Siehe ![[]](/images/popup.gif) Wiki
> also würde ich sagen,dass es eine offene Menge ist.![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Aber wegen der
> Definition ist es vielleicht doch keine, denn die 4 selbst
> ist kein innerer Punkt. Abgeschlossen ist sie aber auch
> nicht. Also ist sie keins von beiden?
Jo.
>
> b) Hier hab ich nicht abgeschlossen,aber offen.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c) Offen ist sie nicht, da die 1 kein innerer Punkt ist und
> abgeschlossen ist sie auch nicht.
Was meinst du mit "da die 1 kein innerer Punkt ist"?
1 liegt sehr wohl im Inneren des Intervalls.
>
> d) Ist offen.
>
> e) nicht offen und nicht abgeschlossen.
>
> Stimmt das erstmal so alles?
>
> Vielen Dank
> lg
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti,
vielen Dank.
> > a) Hier ist ein offenes Intervall,
> Nein, es ist ein halboffenes! die rechte Intervallgrenze 4
> gehört zur Menge.
> > also würde ich sagen,dass es eine offene Menge
> ist. Aber wegen der
> > Definition ist es vielleicht doch keine, denn die 4 selbst
> > ist kein innerer Punkt. Abgeschlossen ist sie aber auch
> > nicht. Also ist sie keins von beiden?
> Jo.
Ok. Als Beweis reicht das aber nicht oder?
> > b) Hier hab ich nicht abgeschlossen,aber offen.
Gut, wie beweist man denn,dass eine Menge offen ist, dass also jeder Punkt ein innerer Punkt ist? Begründen kann ich es aber nicht beweisen.
> >
> > c) Offen ist sie nicht, da die 1 kein innerer Punkt ist und
> > abgeschlossen ist sie auch nicht.
> Was meinst du mit "da die 1 kein innerer Punkt ist"?
> 1 liegt sehr wohl im Inneren des Intervalls.
Keine Ahnung, das war Unsinn. Ich sehe hier aber keinen Unterschied zu d), denn bei d) steht zwar zusätzlich, dass x größer als Null sein muss, aber das ist es hier doch schon, denn die 0 ist die linke Intervallgrenze, d.h. x kann nicht negativ werden, ist somit automatisch größer oder gleich 0.
> >
> > d) Ist offen.
> >
> > e) nicht offen und nicht abgeschlossen.
Reicht es als Beweis, wenn ich begründe, wieso es nicht offen und nicht abgeschlossen ist? Ich hab nämlich keine Ahnung wie man so etwas beweist.
Vielen Dank
lg
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> Hallo kamaleonti,
>
> vielen Dank.
>
> > > a) Hier ist ein offenes Intervall,
> > Nein, es ist ein halboffenes. die rechte
> Intervallgrenze 4
> > gehört zur Menge.
> > > also würde ich sagen,dass es eine offene Menge
> > ist. Aber wegen der
> > > Definition ist es vielleicht doch keine, denn die 4 selbst
> > > ist kein innerer Punkt. Abgeschlossen ist sie aber auch
> > > nicht. Also ist sie keins von beiden?
> > Jo.
>
> Ok. Als Beweis reicht das aber nicht oder?
Ich muss mich korrigieren (danke Gono für den Hinweis):
Das Intervall [mm] (\infty, [/mm] 4] ist abgeschlossen (aber unbeschränkt). Begründung: 4 ist der einzige Randpunkt und gehört zum Intervall dazu.
>
> > > b) Hier hab ich nicht abgeschlossen,aber offen.
>
> Gut, wie beweist man denn,dass eine Menge offen ist, dass
> also jeder Punkt ein innerer Punkt ist? Begründen kann ich
> es aber nicht beweisen.
Es ist gut sich klar zu machen, welches die Randpunkte sind. Damit eine Menge offen ist, darf sie keinen ihrer Randpunkte enthalten. Hier ist die Menge der Randpunkte gerade [mm] \IZ. [/mm]
Alle anderen Punkte sind keine Randpunkte: Sei [mm] x\in\IR\backslash\IZ. [/mm] Dann gibt es zwei eindeutige ganze Zahlen [mm] z_1,z_2 [/mm] mit Differenz 1 zwischen denen x liegt, d.h [mm] z_1
> > >
> > > c) Offen ist sie nicht, da die 1 kein innerer Punkt ist und
> > > abgeschlossen ist sie auch nicht.
> > Was meinst du mit "da die 1 kein innerer Punkt ist"?
> > 1 liegt sehr wohl im Inneren des Intervalls.
>
> Keine Ahnung, das war Unsinn. Ich sehe hier aber keinen
> Unterschied zu d), denn bei d) steht zwar zusätzlich, dass
> x größer als Null sein muss, aber das ist es hier doch
> schon, denn die 0 ist die linke Intervallgrenze, d.h. x
> kann nicht negativ werden, ist somit automatisch größer
> oder gleich 0.
Der Unterschied zu d):
Hier ist 0 ein Randpunkt der Menge, bei d) nicht.
> > >
> > > d) Ist offen.
> > >
> > > e) nicht offen und nicht abgeschlossen.
>
> Reicht es als Beweis, wenn ich begründe, wieso es nicht
> offen und nicht abgeschlossen ist? Ich hab nämlich keine
> Ahnung wie man so etwas beweist.
Mir würde es reichen, wenn du es klar begründest - aber da kann ich nicht für deine Dozenten sprechen.
>
> Vielen Dank
> lg
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 24.04.2011 | | Autor: | Lenzo |
Hallo Leute, frohe Ostern.
Auch ich sitze an dieser Aufgabe und möchte gerne sowohl fragen als auch helfen:
Zu unseren, in unserer VL geltenden Definitionen:
> > Eine Menge A heißt offen, falls jeder Punkt von A ein
> > innerer Punkt ist.
Ergänzung: "innerer Punkt":
Sei(X,d) metrischer Raum, [mm] x\in [/mm] A, A[mm]\subseteq[/mm]X.
x heißt innerer Punkt von A, falls ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert, sodass
[mm] K(x,\varepsilon)[/mm] [mm]\subseteq[/mm]A
Aus diesem Grund denke ich nicht, dass ([mm]\infty[/mm],4] in unserem Sinne abgeschlossen ist; wir sind erst am Anfang und hatten erst die o.g. Def.
> > Eine Menge A heißt abgeschlossen falls A'=A mit [mm] $A':=\{x \in X:
> > \forall \varepsilon >0:K(x,\varepsilon) \cap A \not=\emptyset \}$
[/mm]
> > Ich sehe hier aber keinen
> > Unterschied zu d), denn bei d) steht zwar zusätzlich, dass
> > x größer als Null sein muss,
ist es nicht "größergleich"?! also [mm]\ge[/mm]
> > Der Unterschied zu d):
> > Hier ist 0 ein Randpunkt der Menge, bei d) nicht.
sicher??? ich glaube, dass es sich um einen Druckfehler handelt. Auf dem Blatt steht [mm]\ge[/mm] aber ihr meint doch >, oder? Wenn es kein Druckfehler ist, dann sehe ich den Unterschied zwischen c) und d) auch nicht.
> > > > d) Ist offen.
und deshalb wäre d) auch nicht offen, da 0 Randpunkt ist, es sei denn wir meinen ">" statt [mm] \ge [/mm] s.o.
Ich hoffe, keinen außer mir, verwirrt zu haben. Wenn ich auf dem Holzweg bin, dann sorry!
Schöne Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Leute, frohe Ostern.
Dir auch, frohe Ostern.
> Auch ich sitze an dieser Aufgabe und möchte gerne sowohl
> fragen als auch helfen:
>
> Zu unseren, in unserer VL geltenden Definitionen:
>
> > > Eine Menge A heißt offen, falls jeder Punkt von A ein
> > > innerer Punkt ist.
>
> Ergänzung: "innerer Punkt":
> Sei(X,d) metrischer Raum, [mm]x\in[/mm] A, A[mm]\subseteq[/mm]X.
> x heißt innerer Punkt von A, falls ein [mm]\varepsilon[/mm] >0
> existiert, sodass
> [mm]K(x,\varepsilon)[/mm] [mm]\subseteq[/mm]A
>
> Aus diesem Grund denke ich nicht, dass ([mm]\infty[/mm],4] in
> unserem Sinne abgeschlossen ist; wir sind erst am Anfang
> und hatten erst die o.g. Def.
Genau. So sehe ich das auch.
> > > Eine Menge A heißt abgeschlossen falls A'=A mit [mm]$A':=\{x \in X:
> > \forall \varepsilon >0:K(x,\varepsilon) \cap A \not=\emptyset \}$[/mm]
>
>
>
> > > Ich sehe hier aber keinen
> > > Unterschied zu d), denn bei d) steht zwar zusätzlich, dass
> > > x größer als Null sein muss,
>
> ist es nicht "größergleich"?! also [mm]\ge[/mm]
Ja mein ich doch.
>
> > > Der Unterschied zu d):
> > > Hier ist 0 ein Randpunkt der Menge, bei d) nicht.
>
> sicher??? ich glaube, dass es sich um einen Druckfehler
> handelt. Auf dem Blatt steht [mm]\ge[/mm] aber ihr meint doch >,
> oder? Wenn es kein Druckfehler ist, dann sehe ich den
> Unterschied zwischen c) und d) auch nicht.
Ich denke auch es ist ein Druckfehler, denn sonst sind die Mengen gleich und dann hast du recht, sind sie nciht offen.
>
> > > > > d) Ist offen.
> und deshalb wäre d) auch nicht offen, da 0 Randpunkt ist,
> es sei denn wir meinen ">" statt [mm]\ge[/mm] s.o.
>
> Ich hoffe, keinen außer mir, verwirrt zu haben. Wenn ich
> auf dem Holzweg bin, dann sorry!
Schön zu wissen, dass jemand das genauso sieht,dann kann es ja nicht so falsch sein.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=788723
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok. Als Beweis reicht das aber nicht oder?
> Ich muss mich korrigieren (danke Gono für den Hinweis):
> Das Intervall [mm](\infty,[/mm] 4] ist abgeschlossen (aber
> unbeschränkt). Begründung: 4 ist der einzige Randpunkt
> und gehört zum Intervall dazu.
Das kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Ich hab doch diese Teilmenge als Teilmenge der reellen Zahlen gegeben. Und ich kann doch ein x>4 nehmen und darum eine Epsilon Kugel legen und die schneidet die gegebene Menge. Also ist diese Menge nach unserer Definition nicht abgeschlossen.
Oder verstehe ich das jetzt komplett falsch?
> > > > c) Offen ist sie nicht, da die 1 kein innerer Punkt ist und
> > > > abgeschlossen ist sie auch nicht.
> > > Was meinst du mit "da die 1 kein innerer Punkt
> ist"?
> Der Unterschied zu d):
> Hier ist 0 ein Randpunkt der Menge, bei d) nicht.
> > > >
Wieso ist 0 bei d) nicht Randpunkt der Menge? Es ist doch x [mm] \ge [/mm] 0, also gehört 0 auch dazu oder nicht?
> > > > d) Ist offen.
> > > >
> > > > e) nicht offen und nicht abgeschlossen.
> >
> Mir würde es reichen, wenn du es klar begründest - aber
> da kann ich nicht für deine Dozenten sprechen.
Ja das stimmt. Ich versuche es mal hinreichend zu begründen.
d) Wir haben zunächst die reelle Zahlenachse und alle x [mm] \ge [/mm] 0. Dann haben wir das Intervall [0,2[ Ich kann jetzt um jeden Punkt x>0 aus dem gegebenen Intervall eine Epsilon-Kugel legen, die immer im Intervall liegt.
Jetzt bin ich doch etwas skeptisch geworden, denn ich kann um x=0 keine Epsilon Kugel legen mit Epsilon>0, denn die würde sonst in den Bereich der negativen Zahlen gehen. Also ist sie doch nicht offen?
e) Da x>2 und y [mm] \le [/mm] 3 ist, kann das Innere der Menge nicht der komplette [mm] \IR^{2} [/mm] sein, deswegen ist sie schonmal nicht offen. Und abgeschlossen ist sie deswegen nicht, weil ich z.B. um den Punkt (3/2) eine Epsilon Kugel mit beliebig großem Radius legen kann, sodass sie die gegebene Menge schneidet.
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mi 27.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Hey Marleen,
also scheinbar besuchen wir das gleiche Modul 
Ich denke auch, dass d nicht offen ist weil, wie du schon gesagt hast
für x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \not\exists K(x,\varepsilon) [/mm] mit [mm] \varepsilon>0, [/mm] sodass [mm] K(x,\varepsilon) \cap (-\infty,0) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
und nicht abgeschlossen wegen den Komplementen (Satz 5.1) [mm] (-\infty,0) [/mm] und [mm] [0,\infty)
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
lg
P.S.:
Viell. hast du Lust dir mal meine 8a anzuschauen?
Wäre lieb
http://www.matheforum.net/read?t=788534
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hey Marleen,
Hey, ich bin nicht Marleen^^
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 28.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
upps, keine Absicht und peinlich sry;
meinte Mandy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu d): weil in der Aufgabenstellung steht
$ [0,2) [mm] \subset \{x \in \IR;x \ge 0\} [/mm] $
denke ich, dass die Frage präzise lautet:
ist [0,2) offen (abgeschlossen) in der Relativtopologie (Spurtopologie) auf
$T:= [mm] \{x \in \IR;x \ge 0\} [/mm] $ ?
[0,2) ist offen in T [mm] \gdw [/mm] es ex. eine in [mm] \IR [/mm] offene Menge G mit $[0,2) = G [mm] \cap [/mm] T$.
Das letzte ist aber der Fall z.B.: mit $G= (-1,2)$ ( oder $G=(-4711,2)$ oder .....)
Fazit:
1. [0,2) ist offen im Teilraum T;
2. [0,2) ist nicht offen in [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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