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| Aufgabe | Die Funktion f [mm] (\IR)^{2} [/mm] ist durch [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1})^{2}+3*((x_{2})^{3})+4*x_{1}*x_{2}+x_{1}+(x_{2})^{2}-x_{2} [/mm] gegeben.
a) Ermitteln Sie Art und Lage der stationären Punkte von f.
b) In welchen Bereichen der Ebene ist f konvex?
c) Ausgehend von [mm] x^{0}=(-1,1) [/mm] führe man Gradientenschritte mit [mm] p^{0}=-\Delta f(x^{0}) [/mm] (Gradient) und Schrittweiten [mm] \alpha=1, [/mm] 0.5, 0.25, ... aus bis die Ungleichung [mm] f(x^{0} [/mm] + [mm] \alpha*p^{0}) [/mm] - [mm] f(x^{0}) \le [/mm] 0.25* [mm] \alpha (\Delta f(x^{0}))^{T} [/mm] * [mm] p^{0} [/mm] erfüllt ist (ARMIJO-Regel). |
So, wir haben jetzt diese Aufgabe gelöst und sind uns aber bei Aufgabe b) und c) unsicher, ob das so ausreicht bzw. stimmt?
also erstmal haben wir bei a) raus:
die stationären Punkte sind: (-2.5 , 1), ( 1/6 , -1/3)
(-2.5 , 1) ist ein Minimalpunkt (Hesematrix ist positiv definit), ( 1/6, -1,3) ist ein Sattelpunkt (Hessematrix ist indefinit)
so dann be ider b):
Wir haben die Eigenwerte der Hessematrix ausgerechnet, welche sich ergeben durch:
[mm] t_{1,2}=9*x_{2} [/mm] + 2 +/- [mm] \wurzel{81*(x_{2})^{2} + 16}
[/mm]
und diese Eigenwerte sind größergleich 0 wenn [mm] 9*x_{2} [/mm] + 2 [mm] \ge \wurzel{81*(x_{2})^{2} + 16}
[/mm]
und das ist der Fall wenn [mm] x_{2} \ge [/mm] 1/3
jetzt haben wir dieses 1/3 ermittelt indem wir in der oberen ungleichung quadriert haben und sind uns nicht sicher, ob dadurch lösungen verloren gegangen sind, da quadrieren ja auch keine äquivalente umformung ist.
so und dann die c):
also [mm] p^{0}=(-3, [/mm] -6) und somit ist
[mm] x^{0} [/mm] + [mm] 1*p^{0} [/mm] = (-4, -5) (denn [mm] \alpha=1)
[/mm]
und es ergibt sich dadurch:
f(-4, -5) - f(-1,1) = -253 - (-1) = -252
und
0.25*1* [mm] \Delta [/mm] f(-1,1) * (-3,-6) = 0.25 * (-45) = -11.25
Und damit wäre ja die Ungleichung schon nach der ersten Iteration erfüllt.
Wir finden aber auch keinen Fehler.
Könnte sich jemand das Ganze nochmal anschauen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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