orientierte Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 28.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo,.........lern grad für die Algebra2 UE Klausur.....die Algebra2 VO Klausur hab ich schon(Juhuuuuuu.....ein großes Danke an Euch da Ihr mir immer weiter
geholfen habt).
Ich hab noch 2 kleinere Fragen:
Bei der Definition im Skript steht dass 2 Basen B und C gleich orientiert heißen ,falls det [mm] (A^{C}_{B}) [/mm] > 0. Dass ist klar...
Nur dann kommt ein komischer Satz:
Die Basen der Äquivalenzklasse der kanonischen Basis heißen positiv, die anderen negativ orientiert.
Was ist damit gemeint.
Beim Beispiel danach wird einfach die Determinante bestimmt....ist sie positiv -> positiv orientiert
..ist sie negativ -> negativ orientiert
Also was sagt der Satz genau aus....ein Beispiel wäre nicht schlecht
Dann noch was:
Was ist der Unterschied zwichen indefinit und nicht ausgeartet?
Im Skript steht es irgendwie nicht genau dort:
A ist nicht ausgeartet <-> D = diag(1,....,1,-1,....,-1)
A ist indefinit <-> in D kommt mindestens ein Einser und mindestens ein Minus-Einser vor.
Ein Beispiel wäre nicht schlecht....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 28.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
nur mal schnell die letzte Frage aus dem Gedächtnis:
> Dann noch was:
> Was ist der Unterschied zwichen indefinit und nicht
> ausgeartet?
> Im Skript steht es irgendwie nicht genau dort:
> A ist nicht ausgeartet <-> D = diag(1,....,1,-1,....,-1)
hier sind aber die Anzahl der Einser und der Minus-Einser variabel, oder?
Insbesondere muss kein Eins oder kein Minus-Eins vorkommen, richtig?
nicht-ausgeartet bedeutet eigentlich nur: keine 0 !
> A ist indefinit <-> in D kommt mindestens ein Einser und
> mindestens ein Minus-Einser vor.
wie es dasteht: positiv definit, wenn nur Einser,
negativ Definit, wenn nur Minus-Einser,
indefinit, wenn beides.
(nicht ausgeartet war hierfür eine Voraussetzung, oder?)
Noachmals der hinweis: bitte alles überprüfen, war nur aus dem Gedächtnis, werde es morgen selbst überprüfen.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo Reaper,
> Bei der Definition im Skript steht dass 2 Basen B und C
> gleich orientiert heißen ,falls det [mm](A^{C}_{B})[/mm] > 0. Dass
> ist klar...
> Nur dann kommt ein komischer Satz:
> Die Basen der Äquivalenzklasse der kanonischen Basis
> heißen positiv, die anderen negativ orientiert.
> Was ist damit gemeint.
> Beim Beispiel danach wird einfach die Determinante
> bestimmt....ist sie positiv -> positiv orientiert
> ..ist sie negativ -> negativ orientiert
> Also was sagt der Satz genau aus....ein Beispiel wäre
> nicht schlecht
Gemeint ist hier folgendes. Durch die "Orientierung einer Basis" ist eine Äquivalenzrelation definiert. (Beweis siehe unten) Man zeigt (unten), dass es genau 2 Äquivalenzklassen gibt. Weiters werden folgende Vereinbarungen getroffen: Die kanonische Basis sei per Definition positiv orientiert. Daraus ergibt sich die Orientierung für alle anderen Basen. Jene Basen, die in der Äquivalenzklasse der kanonischen Basis liegen, seien ebenfalls positiv orientiert. Alle anderen Basen seien negativ orientiert.
Beweis, dass die "Orientierung einer Basis" eine ÄR ist:
Reflexivität: Es gilt [mm] A_B^B [/mm] = id. det(id)=1>0. ok
Transitivität: Seien B,C, und D Basen. Und gelte B und C gleich orientiert und C und D gleich orientiert. Zeige: B und D gleich orientiert. Es gilt [mm] A_B^D [/mm] = [mm] A_C^D [/mm] * [mm] A_B^C. [/mm] (Möglicherweise muss man die Matrizen auch anders herum multiplizeiren.) Die Matrizen auf der rechten Seite haben positive Determinate, also auch jene links. ok
Symmetrie: Seien B, C Basen. Gelte B und C gleich orientiert. Zeige: C und B gleich orientiert. Es gilt [mm] A_C^B [/mm] = [mm] (A_B^C)^{-1}. [/mm] Die Matrix rechts hat positive Determinante, also auch jene links. ok
q.e.d.
Beweis, dass es nur zwei Äquivalenzklassen gibt:
Seien B und C verschieden orientierte Basen, und sei D eine beliebige Basis. Sei o.B.d.A. D verschieden wie B orientiert. Zeige: D gleich, wie C orientiert.
Es gilt [mm] det(A_B^C)<0, [/mm] und [mm] det(A_B^D)<0.
[/mm]
Weiters [mm] det(A_B^D)=det(A_C^D) [/mm] * [mm] det(A_B^C). [/mm] Da die beiden Determinanten ganz links und ganz rechts negativ sind, muss die mittlere positiv sein. Also sind C und D gleich orientiert.
q.e.d.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 30.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...könntest du mir ein Beispiel geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Do 30.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo...könntest du mir ein Beispiel geben?
Ein Beispiel wofür? Für die Äquivalensklassen? Die positiv orientierte sind die normalen Standardvektoren - und die Äquivalenten dazu kann man sich durch Drehstreckungen vorstellen - bei den aus der anderen Äquivalenzklasse bricht man mit einer Spiegelung die Symterie: nehme mal jeweils Daumen, Zeige- und Mittelfinger und stelle ein 3-Bein auf. Wenn du die rotierst (oder einen Finger kürzer machst  ) erhälst du äquivalente Basen - aber du kannst sie jeweils nicht in die andre überführen.
SEcki
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