orientierung/Automorphismus < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mi 05.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Skriptum:
Für einen linearen Isomorphismus [mm] \phi: [/mm] V->V tritt genau einer der folgenden beiden Fälle ein:
a) [mm] det(\phi) [/mm] > 0: In diesem fall ist [mm] \phi(o)= [/mm] o [mm] \forall [/mm] o [mm] \in [/mm] =O(V)
b) [mm] det(\phi) [/mm] < 0: In diesem fall ist [mm] \phi(o)=- [/mm] o [mm] \forall [/mm] o [mm] \in [/mm] =O(V)
Das folgt aus der Gleichheit [mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] T_{B \phi(B)} [/mm] = Basiswechselmatriz von [mm] \phi(B) [/mm] NACH B
Unsere bezeichnungen:
wobei O(V) die Menge der Äquivalenzklassen der Relation B~ B' :<=> $ [mm] det(T_{B'B}) [/mm] $ >0 . DIe Elemente von O(V) werden Orientierung von V gennant
und $ [mm] o_B: [/mm] $ Ist $ [mm] B=(b_1,..,b_n) [/mm] $ eine geordnete Basis von V und $ [mm] o_B \in [/mm] $ O(V) die von ihr repräsentierte Orientierung |
Also ich verstehe nicht wieso a & b aus der Gleichheit folgt.
Letztes Lemma war:
Ist $ [mm] \phi: [/mm] $ V -> W ein linearer Isomorphismus zwischen endlich dimensionalen reellen Vektorräumen und sind B ~ B' zwei gleichorientierte Basen von V dann sind auch $ [mm] \phi(B) [/mm] $ und $ [mm] \phi(B') [/mm] $ gleichorientierte Basen von W
Das einer der Fälle [mm] det(\phi) [/mm] > 0 oder [mm] det(\phi) [/mm] < 0 ist klar, da die determinante nicht 0 sein kann bei einen Insomorphismus.
Trotzdem ist mir das gar nicht klar.
Vlt könnt ihr mir erklären, wieso das gilt.
Mein skript: http://www.mat.univie.ac.at/~stefan/files/LA/LA.Skriptum.p.119-140.pdf
Intern seite 138 unten & 139 oben
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 05.09.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo,
nunja, wenn ich [mm][\phi]_{BB}[/mm] richtig interpretiere, dann kann ich es erklären; exemplarisch an a). Wenn [mm]\phi[/mm] eine positive Determinante hat, so nach der erwähnten Gleichheit auch [mm]T_{B\phi(B)}[/mm], denn [mm]det(T_{B\phi(B)}) = det([\phi]_{BB}) = det(\phi) > 0[/mm] (da die Determinante unabhängig von der Wahl der Basis ist). Daher sind [mm]B[/mm] und [mm]\phi(B)[/mm] gleichorientiert und folglich ist [mm]\phi(o)=o[/mm].
Gruß cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke, ist nun klar.
;) Schönen Tag
LG,
quasimo
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