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| Aufgabe | Find the orthogonal trajectories of [mm] $r=c\;cos(\Phi)$ [/mm] and graph.
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Hallo,
ich bin mir jetzt nicht sicher, wie
[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}$
[/mm]
anzuwenden ist.
[mm] $r\;=\;c*cos(\Phi)$ [/mm] ; [mm] $c\;=\;\frac{r}{cos(\Phi)}$
[/mm]
[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;c*sin(\Phi)=F(r,\Phi)$
[/mm]
[mm] $\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}=\;-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=\;r*tan(\Phi)$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{r}\;dr [/mm] = [mm] \int tan(\Phi) \;d\Phi$
[/mm]
[mm] $ln|r|=ln|sec(\Phi)|+C'$
[/mm]
[mm] $r=C*sec(\Phi)$
[/mm]
stimmt laut Lösung nicht. Die Lösung im Buch ist:
[mm] $r=D*sin(\Phi)$
[/mm]
Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler vor?
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Find the orthogonal trajectories of [mm]r=c\;cos(\Phi)[/mm] and
> graph.
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>
> Hallo,
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> ich bin mir jetzt nicht sicher, wie
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> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}[/mm]
>
> anzuwenden ist.
>
> [mm]r\;=\;c*cos(\Phi)[/mm] ; [mm]c\;=\;\frac{r}{cos(\Phi)}[/mm]
>
> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;c*sin(\Phi)=F(r,\Phi)[/mm]
>
> [mm]\frac{dr}{d\Phi}\;=\;-\;\frac{r^2}{F(r,\Phi)}=\;-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=\;r*tan(\Phi)[/mm]
Hier ist der Fehler passiert.
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> [mm]\int \frac{1}{r}\;dr = \int tan(\Phi) \;d\Phi[/mm]
>
> [mm]ln|r|=ln|sec(\Phi)|+C'[/mm]
Übrigens, die Stammfunktion von [mm]\tan\left(\Phi\right)[/mm] ist [mm]\ln\vmat{\cos\left(\Phi\right)}+C[/mm]
>
> [mm]r=C*sec(\Phi)[/mm]
>
> stimmt laut Lösung nicht. Die Lösung im Buch ist:
>
> [mm]r=D*sin(\Phi)[/mm]
>
> Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler vor?
Da hast Du Dich verrechnet:
[mm]-\;\frac{(c*cos(\Phi))^2}{-c*sin(\Phi)}=c*\bruch{\cos^{2}\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=\bruch{r}{\cos\left(\Phi\right)}*\bruch{\cos^{2}\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=r*\bruch{\cos\left(\Phi\right)}{sin\left(\Phi\right)}=r*\red{\cot}\left(\Phi\right)[/mm]
>
> LG, Martinius
>
Gruß
MathePower
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