orthog. Projektion Hilbertraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | M abgeschlossener, linearer Teilraum im Hilbertraum H und [mm] P_M [/mm] der orthogonale Projektor auf M. Im Buch "Functional Analysis" von Conway wird daraus gefolgert (aber nicht erklärt), dass [mm] I-P_M [/mm] der orthogonale Projektor auf [mm] M^{\perp} [/mm] ist. |
Nun, im Conway wurden nur die normalen Eigenschaften des Projektors gezeigt, u.a dass der [mm] Ker(P)=M^{\perp}, [/mm] Im(P)=M usw. aber nicht, dass sich H als direkte Summe schreiben lässt: [mm] H=M\oplus M^{\perp}
[/mm]
Wie kann ich zeigen, dass [mm] I-P_M [/mm] ein orth. Proj. ist ohne Verwendung von [mm] H=M\oplus M^{\perp} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Do 18.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> M abgeschlossener, linearer Teilraum im Hilbertraum H und
> [mm]P_M[/mm] der orthogonale Projektor auf M. Im Buch "Functional
> Analysis" von Conway wird daraus gefolgert (aber nicht
> erklärt), dass [mm]I-P_M[/mm] der orthogonale Projektor auf
> [mm]M^{\perp}[/mm] ist.
>
> Nun, im Conway wurden nur die normalen Eigenschaften des
> Projektors gezeigt, u.a dass der [mm]Ker(P)=M^{\perp},[/mm] Im(P)=M
> usw. aber nicht, dass sich H als direkte Summe schreiben
> lässt: [mm]H=M\oplus M^{\perp}[/mm]
Ich hab mal nachgesehen, wie Conway das macht (Theorem I.2.7):
Ist M ein abgeschlossener Unterraum Von H, so wird eine stetige lineare Abb. P:H [mm] \to [/mm] H definiert (sieh nach wie) mit den Eigenschaften
[mm] P^2=P. kern(P)=M^{\perp} [/mm] und Im(P)=M.
Aus den letzten beiden Eigenschaften folgt $ [mm] H=M\oplus M^{\perp} [/mm] $ !!
Das ist lineare Algebra:
Ist V ein Vektorraum und sind U,W unterräume von V und ist P:V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung mit [mm] P^2=P, [/mm] Im(P)=U und kern(P)=W, so gilt
$ [mm] V=U\oplus [/mm] W $
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> Wie kann ich zeigen, dass [mm]I-P_M[/mm] ein orth. Proj. ist ohne
> Verwendung von [mm]H=M\oplus M^{\perp}[/mm] ?
Wenn Du schon hast, dass [mm] P_M [/mm] ein OP ist, so mußt Du nur zeigen:
[mm] I-P_M [/mm] ist selbstadjungiert (hermitesch) und [mm] (I-P_M)^2=I-P_M
[/mm]
FRED
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