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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Fr 06.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe eine, ja ich denke, ungewöhnliche Frage.
[mm] O(n):=\{A \in GL(n;\IR) : A^{-1}=A^t\} [/mm] bezeichnet die orthogonale Gruppe.
(t steht für transponiert. [mm] A^{-1} [/mm] ist die Inverse.)
Meine Frage: Kann ich jede Matrix so berechnen, dass sie Element der orthogalen Gruppe ist?
Wenn ja, wie mache ich das? Mit Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren?
Ich habe das einmal an folgender Matrix berechnet:
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
Jetzt habe ich [mm] v_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] gewählt, weil der Vektor schon normiert ist.
[mm] v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Dann habe ich Gram-Schmidt angewandt und
[mm] A'=\pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & 1 & 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
erhalten.
Nach meiner Argumetation müsste ja jetzt
A'^{-1}=A'^t
sein.
Aber [mm] A'^{-1}=\pmat{ -\wurzel{2} & 0 & \wurzel{2} \\ -1 & 1 & 1 \\ \wurzel{2} & 0 & 0}
[/mm]
und [mm] A'^{t}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
Also [mm] A'^{-1}\not=A'^{t}.
[/mm]
Kann mir jemand helfen und mir sagen, ob das so überhaupt geht?
MfG
barsch
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> Hi,
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> ich habe eine, ja ich denke, ungewöhnliche Frage.
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> [mm]O(n):=\{A \in GL(n;\IR) : A^{-1}=A^t\}[/mm] bezeichnet die
> orthogonale Gruppe.
>
> (t steht für transponiert. [mm]A^{-1}[/mm] ist die Inverse.)
>
>
> Meine Frage: Kann ich jede Matrix so berechnen, dass sie
> Element der orthogalen Gruppe ist?
Was meinst Du mit "eine Matrix so berechnen, dass ..."? Was Du machst ist einfach dies: Du versuchst aus den Spaltenvektoren der Matrix eine ortho-normale Basis zu machen. Dies gelingt dann und nur dann, wenn die Spaltenvektoren linear-unabhängig sind (bzw. die Matrix regulär ist).
> Wenn ja, wie mache ich das? Mit
> Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren?
>
> Ich habe das einmal an folgender Matrix berechnet:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}[/mm]
>
> Jetzt habe ich [mm]v_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] gewählt, weil der
> Vektor schon normiert ist.
>
> [mm]v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_3=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> Dann habe ich Gram-Schmidt angewandt und
>
> [mm]A'=\pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & 1 & 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> erhalten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der erste und der zweite Spaltenvektor sind nicht orthogonal zueinander: Du kannst die weitere Kalkulation gleich vergessen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 06.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank.
> Der erste und der zweite Spaltenvektor sind nicht
> orthogonal zueinander: Du kannst die weitere Kalkulation
> gleich vergessen...
Also müsste ich die Spaltenvektoren vorher orthogonalisieren und könnte
die dann erhaltenen Spaltenvektoren dann orthonormalsieren.
Würde die Matrix dann die Bedingung [mm] A^{t}=A^{-1} [/mm] erfüllen?
MfG
barsch
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> Hi,
>
> vielen Dank.
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> > Der erste und der zweite Spaltenvektor sind nicht
> > orthogonal zueinander: Du kannst die weitere Kalkulation
> > gleich vergessen...
>
> Also müsste ich die Spaltenvektoren vorher
> orthogonalisieren und könnte
> die dann erhaltenen Spaltenvektoren dann
> orthonormalsieren.
Wenn Du das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren richtig angewandt hättest, dann wären die Spaltenvektoren der resultierenden Matrix orthogonal gewesen.
>
> Würde die Matrix dann die Bedingung [mm]A^{t}=A^{-1}[/mm] erfüllen?
Wenn die Matrix $A'$ orthogonal ist, ist sie orthogonal: $A'^t=A'^{-1}$ sagt ja nichts anderes.
Aber die so bestimmte Matrix $A'$ hat sehr wenig mit der ursprünglichem Matrix $A$, z.B. aufgefasst als Matrix einer linearen Abbildung, zu tun. - Und deshalb ist mir überhaupt nicht klar, was das Ziel des ganzen Prozederes sein soll.
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