orthogonale Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Mir ist aufgefallen, dass ich gar nicht weiß, was eine orthogonale Matrix ist. In einer Übersicht über spezielle Matrizen finde ich:
Die Matrix A ist orthogonal, falls [mm] AA^T=I.
[/mm]
Kann man sich das noch irgendwie vorstellen? Hat das eine tiefere Bedeutung?
Es braucht keine lange Erklärung zu sein, falls eine kurze knappe mir nicht reichen sollte, würde ich weiter nachfragen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane,
> Hallo!
>
> Mir ist aufgefallen, dass ich gar nicht weiß, was eine
> orthogonale Matrix ist. In einer Übersicht über spezielle
> Matrizen finde ich:
> Die Matrix A ist orthogonal, falls [mm]AA^T=I.
[/mm]
Da steht doch, was eine orthogonale Matrix ist. 
> Kann man sich das noch irgendwie vorstellen? Hat das eine
> tiefere Bedeutung?
Ja, da gibt es schon tiefere (geometrische) Bedeutungen. Allerdings fällt mir momentan nicht wirklich etwas dazu ein, was dir anschaulich helfen könnte.
Etwas formales:
Ist $A$ eine orthogonale [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix und sind [mm] $A_i$ [/mm] die Zeilen von $A$, so heißt die Bedingung [mm] $A*A^T=I$ [/mm] ja nichts anderes als:
[m]A*A^T=\vektor{A_1\\A_2\\.\\.\\.\\A_n}*\left(A_1^T,A_2^T,...,A_n^T\right)=\begin{pmatrix}1&0&0&0&&... &0 \\0&1&0&0& &... &0\\...& & .& & &...&.\\...& & &.& &...&.\\. & & & &.& &. \\. & & & & &. &. \\0&0&0&0& &...&1 \end{pmatrix}[/m]
Wenn du also beispielsweise den [mm] $\IR^n$ [/mm] mit dem kanonischen Skalarprodukt betrachtest, so gilt:
[mm] $A_i *A_j^T=0$, [/mm] falls $i [mm] \not=j$ [/mm] (d.h. [mm] $A_i$ [/mm] und [mm] $A_j$ [/mm] sind orthogonal für [m]i \not=j[/m])
und
[mm] $A_i *A_i^T=1$. [/mm] (D.h., die euklidische Norm von [mm] $A_i$ [/mm] ist $1$ (weil das Quadrat der euklidischen Norm $1$ ist!).)
Man kann beweisen:
Mit einer orthogonalen Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] hast du durch die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) eine Orthonormalbasis des [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben (d.h., dass die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von $A$ linear unabhängig sind, die Norm $1$ haben und dass je zwei voneinander verschiedene Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) senkrecht aufeinander stehen. Die lineare Unabhängigkeit habe ich nicht nachgerechnet, aber das folgt etwa daraus, dass orthogonale $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen invertierbar sind (siehe unten) und daher $Rang(A)=n$ gilt. Der Beweis steht also schon hier!  )
Wichtig ist auch folgender Sachverhalt:
Nach Definition gilt [mm] $A*A^T=I$, [/mm] und deswegen gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:
[mm] $det(A*A^T)=det(I)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] (beachte: [mm] $det(A)=det(A^T)$)
[/mm]
[mm] $\left(det(A)\right)^2=1$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $det(A)=\pm [/mm] 1$.
D.h., die Determinante einer orthogonalen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix hat nur zwei mögliche Werte: $1$ oder $-1$.
Und was sich sofort aus der Definition ergibt (damit hätte ich vielleicht anfangen sollen):
Die Menge der orthogonalen Matrizen ist (bzgl. der Matrixmultipl.) eine Gruppe, und für jede orthogonale Matrix $A$ ist die Inverse damit eindeutig bestimmt und es gilt:
[mm] $A^{-1}=A^T$
[/mm]
So, die geometrischen Eigenschaften überlasse ich jemanden, der mehr davon versteht als ich.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hey, danke! Das hat mir schon geholfen!
> Ja, da gibt es schon tiefere (geometrische) Bedeutungen.
> Allerdings fällt mir momentan nicht wirklich etwas dazu
> ein, was dir anschaulich helfen könnte.
Hatte ich gesagt, ich bräuchte eine geometrische Bedeutung?
> Etwas formales:
> Ist [mm]A[/mm] eine orthogonale [mm]n\times n[/mm]-Matrix und sind [mm]A_i[/mm] die
> Zeilen von [mm]A[/mm], so heißt die Bedingung [mm]A*A^T=I[/mm] ja nichts
> anderes als:
>
> [m]A*A^T=\vektor{A_1\\A_2\\.\\.\\.\\A_n}*\left(A_1^T,A_2^T,...,A_n^T\right)=\begin{pmatrix}1&0&0&0&&... &0 \\0&1&0&0& &... &0\\...& & .& & &...&.\\...& & &.& &...&.\\. & & & &.& &. \\. & & & & &. &. \\0&0&0&0& &...&1 \end{pmatrix}[/m]
>
>
> Wenn du also beispielsweise den [mm]\IR^n[/mm] mit dem kanonischen
> Skalarprodukt betrachtest, so gilt:
> [mm]A_i *A_j^T=0[/mm], falls [mm]i \not=j[/mm] (d.h. [mm]A_i[/mm] und [mm]A_j[/mm] sind
> orthogonal für [m]i \not=j[/m])
Ja, das war eigentlich das Interessanteste. So kann ich mir das vorstellen. Dass Vektoren zueinander orthogonal sein können, weiß ich ja, und das kann ich mir auch vorstellen. Aber Matrizen? Aber wenn man sich die Matrizen ja einfach aus Vektoren zusammengesetzt vorstellt, dann geht das ja auch...
> und
> [mm]A_i *A_i^T=1[/mm]. (D.h., die euklidische Norm von [mm]A_i[/mm] ist [mm]1[/mm]
> (weil das Quadrat der euklidischen Norm [mm]1[/mm] ist!).)
Ja, das ist auch interessant!
> D.h., die Determinante einer orthogonalen [mm]n \times n[/mm]-Matrix
> hat nur zwei mögliche Werte: [mm]1[/mm] oder [mm]-1[/mm].
Ja, und das ist ja ganz toll! (Ich fürchte, das haben wir auch mal gelernt und ich hätte es eigentlich längst wissen müssen...)
> Und was sich sofort aus der Definition ergibt (damit hätte
> ich vielleicht anfangen sollen):
> Die Menge der orthogonalen Matrizen ist (bzgl. der
> Matrixmultipl.) eine Gruppe, und für jede orthogonale
> Matrix [mm]A[/mm] ist die Inverse damit eindeutig bestimmt und es
> gilt:
> [mm]A^{-1}=A^T[/mm]
Ja, das ist auch interessant!
Hab' mir die ganze Sache mal ausgedruckt, damit ich's immer wieder nachschlagen kann, wenn ich's mal vergesse!
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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