orthogonale Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 07.01.2008 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 und sei A [mm] \in M(nxn,\IR). [/mm] Beweisen Sie, dass A genau dann eine orthogonale Matrix ist, wenn die Spalten von A eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^{n} [/mm] bezüglich des Standardskalarproduktes bilden. |
Hallo erstmal :)
Habe mir ein paar Gedanken gemacht und mir kommt es so vor, als ob es auf der Hand liegt. Aber irgendwie komm ich einfach nicht weiter :(
Also folgendes ist mir klar:
Die Spalten der Matrix A könnten eine Basis des [mm] \IR^{n} [/mm] sein, sie verfügt nun mal über n Spalten.
Die Spalten von A bilden eine Basis des [mm] \IR^{n}, [/mm] sie bilden sogar eine ONB des [mm] \IR^{n}. [/mm] Somit sind alle Spaltenvektoren von A linear unabhängig und orthogonal zueinander. Folglich wäre das Standardskalarprodukt 2er beliebiger Spaltenvektoren 0.
Aber wie käme ich jetzt darauf, dass A orthogonal ist, wenn genau das obige erfüllt ist?
Es müsste doch eine der folgenden Eigenschaften erfüllt sein:
1) [mm] A*A^{T}=A^{T}*A=E_{n}
[/mm]
2) [mm] A^{T}=A^{-1}
[/mm]
3) <Ax,Ay>=<x,y>
Allerdings schaffe ich es nicht eine Verbindung zwischen beiden "Ufern" zu schlagen :(
Kann mir vllt jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 07.01.2008 | | Autor: | ullim |
H JanJan,
wenn A orthogonal ist gilt,
[mm] (A*A^T)_{ij}=i-te [/mm] Zeile A x j-te Spalte [mm] A^T=i-te [/mm] Zeile A x j-te Zeile [mm] A=\delta_{ij} [/mm] also bilden die Zeilen und somit auch die Zeilen von A eine orthonormal Basis.
Umgekehrt, wenn die Zeilen oder Spalten eine orthonormal Basis bilden, gilt [mm] AA^T=I.
[/mm]
Damit ist alles bewiesen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 07.01.2008 | | Autor: | JanJan |
Ich muss zugeben, dass ich trotz längeren Nachdenkens über deine Antwort, nicht ganz dahinter komme, was du meinst :(
Könnte es sein, dass du ein paar Wörter in deinem Satz vergessen hast? bzw. Ein [mm] A^{T} [/mm] unterschlagen hast?
Worin genau besteht eigentlich der Beweis?
nutzt er nicht nur die eigenschaft aus, dass weil A orthogonal ist
[mm] A*A^{T}=A^{T}*A=E_{n} [/mm] gilt, und A somit wieder orthogonal ist?
Was genau bedeutet das mit den Spalten und Zeilen von A und [mm] A^{T}?
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn du mir dass noch einmal erkären könntest :)
Vielen Dank schon mal vorab
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 08.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi JanJan,
also meine Idee war wie folgt gemeint:
Wenn A eine orthogonale Matrix ist und [mm] a_i [/mm] die i-te Zeile von A ist, dann ist zu zeigen das [mm] =\delta_{ij} [/mm] ist wobei
[mm] \delta_{ij}=0 [/mm] für [mm] i\ne{j} [/mm] und [mm] \delta_{ij}=1 [/mm] für i=j.
Aus der Tatsache das [mm] A*A^T=E_n [/mm] gilt folgt, dass das i,j-te Element des Produkts [mm] A*A^T [/mm] dem Wert von [mm] \delta_{ij} [/mm] entspricht.
Das i,j-te Element vo [mm] A*A^T [/mm] berechnet sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und und der j-ten Spalte von [mm] A^T.
[/mm]
Die j-te Spalte von [mm] A^T [/mm] ist aber identisch zu der j-ten Zeile von A. Also entspricht dem Skalarprodukt der i-ten Zeile und der j-ten Zeile einer orthogonalen Matrix dem Wert von [mm] \delta_{ij} [/mm] und das war zu beweisen.
Umgekehrt ist zu zeigen, wenn das Skalrprodukt von [mm] =\delta_{ij} [/mm] gilt, dass dann [mm] A*A^T=E_n [/mm] gilt.
Das entspricht aber gerade der Definition des Produktes von [mm] A*A^T.
[/mm]
mfg ullim
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