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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - orthogonale Matrix
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orthogonale Matrix: Frage bzw. Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mo 15.06.2009
Autor: anetteS

Aufgabe
Zeige, dass O:= [mm] \pmat{ 1/2 & 1 & i/2 \\ -1 & 1 & i \\ i/2 & -i & 3/2 } [/mm] orthogonal ist, aber nicht diagonalisierbar.

Hallo an alle Mathehelfer,

Bei der obigen Aufgabe verzweifele ich irgendwie langsam, dass O nicht diagonaliserbar ist habe ich gezeigt. Bei der Orthogonalität komme ich nicht weiter, es muss doch gelten A*malA=E, wobei A* die komplex konjugierte Transponierte von A ist und E die Einheitsmatrix.
Aber A*malA ist bei mir =  [mm] \pmat{ 3/2 & -1 & -3/2i \\ -1 & 3 & 3i \\ 3/2i & -3i & 7/2 } [/mm] und das ist offensichtlich nicht gleich E.

Wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn jemand meinen Fehler finden könnte?

Viele Grüße,
Anette.

        
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orthogonale Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mo 15.06.2009
Autor: leduart

Hallo
eine orthogonale Matrix ist eine, deren Zeilen und Spaltenvektoren paarweise orthogonal sind. orthonormal: ihre Laenge ist zusaetlich 1.
Du hast also die Def. falsch.
Gruss leduart

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orthogonale Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Mo 15.06.2009
Autor: angela.h.b.


>  eine orthogonale Matrix ist eine, deren Zeilen und
> Spaltenvektoren paarweise orthogonal sind. orthonormal:
> ihre Laenge ist zusaetlich 1.
>  Du hast also die Def. falsch.

Hallo,

nein, die Def. stimmt.

Mich nervt's ja auch, aber orthogonale Matrizen sind solche mit paarweise orthogonalen und normierten Spalten .

Gruß v. Angela


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orthogonale Matrix: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Mo 15.06.2009
Autor: anetteS

Aber wenn ich das Skalarprodukt der Spalten ausrechne, kriege ich leider nicht 0 raus, das würde doch bedeuten dass O nicht orthogonal ist, was wiederum die Aufgabenstellung in Frage stellt.

Die Definition hatte ich übrigens aus wiki, unter "unitäre Matrizen".

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orthogonale Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Mo 15.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Aber wenn ich das Skalarprodukt der Spalten ausrechne,
> kriege ich leider nicht 0 raus, das würde doch bedeuten
> dass O nicht orthogonal ist, was wiederum die
> Aufgabenstellung in Frage stellt.

Hallo,

ich weiß ja nicht, was bei Euch so definiert wurde.

Für mich ist eine orthogonale Matrix eine Matrix  mit reellen Einträgen, deren Spalten normiert und paarweise orthogonal sind
Somit würde hier die Orthogonalität schon an den komplexen Einträgen scheitern...

Die entsprechende Matrix im Komplexen heißt bei "mir" unitär.

Die Spalten Deiner Matrix sind offensichtlich nicht normiert, womit "unitär" schon geplatzt ist.
Weiter  sind die 2. und 3. Spalte  nicht orthogonal, womit das Ding endgültig gestorben ist.

Gruß v. Angela





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orthogonale Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Mo 15.06.2009
Autor: anetteS

Danke, ich werd' dann mal unseren Assistenten fragen, wie die Aufgabe gemeint war.

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