orthogonale Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Fr 10.03.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei O(3) die Menge der othogonalen Matrizen aus [mm] M^{3}(\IR) [/mm] sowie U(2) die Menge der unitären Matrizen aus [mm] M^{2}(\IC). [/mm] Des Weiteren seien SO(3) bzw. SU(2) die Teilmengen der MAtrizen aus O(3) bzw. U(2), deren Determinante gleich 1 ist.
Zeigen Sie, dass die oben genannten Mengen/Teilmengen Gruppen bezüglich der Matrixmultiplikation sind! |
Ich weiß: Gruppen erfüllen:
- Assoziativität
- inverses Element
- neutrales Element
Im Internet habe ich eine Beweis gefunden, der besagt, dass die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden. Die Matrizen der oben genannten Gruppen sind ja wohl alle invertierbar.
Der Beweis sieht so aus:
[mm] B^{-1}A^{-1}AB [/mm] = [mm] B^{-1}EB [/mm] = E
Reicht das etwa aus? Oder stimmt mein ansatz gar nicht? Gibt es diesen Beweis irgendwo ausführlich, es ist wichtig für mich ihn zu verstehen!
Vielen Dank für eure Hilfe, ihr seid meine Rettung!
|
|
| |
|
Hallo und guten Nachmittag,
zum Nachweis der Gruppeneigenschaften reicht es, da O(n) und S(n) und so weiter Untermengen von GL(n) ist und diese Menge
eine Gruppe bzgl. der Multipl. bildet, zu zeigen,
dass O(n) usw. jeweils abgeschlossen unter Multiplikation, Inversenbildung sind und die Einheitsmatrix enthalten.
Es ist ja zB
[mm] O(n)=\{A\in GL(n)\: |\: die\: Spalten\: von\: A\: sind \: orthonormal\}\:\: =\:\: \{A\in GL(n)\: |\: A^TA=E\}
[/mm]
Offenbar ist [mm] E\in [/mm] O(n), und falls [mm] A,B\in [/mm] O(n) sind, so gilt ja
[mm] (A^{-1})^T\codt (A^{\-1})= (A^T)^{-1}\cdot A^T=\:\: (A\cdot A^T)^{-1} [/mm] = [mm] E^{-1} [/mm] =E, also ist [mm] A^{-1}\in [/mm] O(n),
und
[mm] (A\cdot B)^T\cdot (A\cdot B)=B^T\cdot A^T\cdot A\cdot [/mm] B= [mm] B^T\cdot (A^T\cdot A)\cdot B=B^T\cdot E\cdot B=B^T\cdot [/mm] B=E.
Damit ist O(n) eine Gruppe.
Benutzt wurden hierbei nur elementare Rechenregeln fuer Inverse, Transponierte und Multiplikationen von Matrizen.
Hilf das weiter ?
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 12.03.2006 | | Autor: | papillon |
Könnte mir einer die Rechnung etwas ausführlicher erläutern? Das wär wirklich nett
> Es ist ja zB
>
> [mm]O(n)=\{A\in GL(n)\: |\: die\: Spalten\: von\: A\: sind \: orthonormal\}\:\: =\:\: \{A\in GL(n)\: |\: A^TA=E\}[/mm]
>
> Offenbar ist [mm]E\in[/mm] O(n), und falls [mm]A,B\in[/mm] O(n) sind, so gilt
> ja
>
> [mm](A^{-1})^T\codt (A^{\-1})= (A^T)^{-1}\cdot A^T=\:\: (A\cdot A^T)^{-1}[/mm]
> = [mm]E^{-1}[/mm] =E, also ist [mm]A^{-1}\in[/mm] O(n),
>
> und
>
> [mm](A\cdot B)^T\cdot (A\cdot B)=B^T\cdot A^T\cdot A\cdot[/mm] B=
> [mm]B^T\cdot (A^T\cdot A)\cdot B=B^T\cdot E\cdot B=B^T\cdot[/mm]
> B=E.
>
> Damit ist O(n) eine Gruppe.
>
> Benutzt wurden hierbei nur elementare Rechenregeln fuer
> Inverse, Transponierte und Multiplikationen von Matrizen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 So 12.03.2006 | | Autor: | taura |
Hallo papillon!
Also ich werds mal versuchen. 
Zu zeigen ist: O(n) ist eine Untergruppe von GL(n).
Was zeichnet Elemente von O(n) aus? Die Eigenschaft [mm] $A^{t}*A=A*A^t=E$
[/mm]
Was man nun zeigen muss, sind folgende drei Punkte:
1. E ist in O(n)
2. Für alle A in O(n) gilt: [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist in O(n)
3. Für alle A, B in O(n) gilt: AB ist in O(n)
zu 1.: [mm] $E^{t}*E=E*E=E$, [/mm] das heißt E erfüllt die Bedingung für O(n), also E in O(n)
zu 2.: Sei A in O(n), es gilt also [mm] $A^t*A=A*A^t=E$. [/mm]
Dann gilt für [mm] $A^{-1}$:
[/mm]
[mm] $(A^{-1})^t*A^{-1}=(A^t)^t*A^t=A*A^t=A^t*A=E$ [/mm]
Zur Erläuterung: [mm] $A^{-1}=A^t$, [/mm] denn [mm] $A^t$ [/mm] erfüllt ja genau die Eigenschaft, die [mm] $A^{-1}$ [/mm] erfüllen muss. Und [mm] $(A^t)^t=A$, [/mm] denn wenn man eine Matrix zweimal transponiert, kommt ja wieder die ursprüngliche Matrix raus.
Also erfüllt [mm] $A^{-1}$ [/mm] die Bedingung, also ist [mm] $A^{-1}$ [/mm] in O(n).
zu 3.: Seien A und B in O(n), es gilt also [mm] $A^t*A=A*A^t=E$ [/mm] und [mm] $B^t*B=B*B^t=E$. [/mm]
Dann gilt für AB:
[mm] $(AB)^t*AB=B^t*A^t*A*B= B^t*E*B=E$
[/mm]
Die Regel [mm] $(AB)^t=B^t*A^t$ [/mm] habt ihr vermutlich irgendwo bewiesen oder?
Also erfüllt auch AB die Bedingung, also ist AB in O(n).
Damit sind alle drei Untergruppenaxiome gezeigt, somit ist O(n) eine Untergruppe von GL(n), also auch eine Gruppe.
Hoffe das hilft dir weiter
Gruß taura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Um zu zeigen, dass $SO(3)$ bzw. $SU(2)$ Untergruppen von $O(3)$ bzw. $U(2)$ sind (womit sie ja auch Gruppen sind), brauchst du den Multiplikationssatz fuer Determinanten: [mm] $\det [/mm] (A [mm] \cdot [/mm] B) = [mm] (\det [/mm] A) [mm] \cdot (\det [/mm] B)$, und das die Determinante der Einheitsmatrix gerade $1$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Sa 11.03.2006 | | Autor: | papillon |
ok, also ich versuch mal zu resümieren:
- Der genannte beweis reicht aus, um zu zeigen, dass die genannten Mengen Gruppen bezüglich der Matrix multiplikaiton sind (wie mathias schreibt)
- Ich brauche den Multiplikationssatz für Determinanten. Den habe ich bereits bewiesen, aber was soll ich jetzt mit ihm anfangen? Der Hinweis ist aber gut, ist wahrscheinlich kein zufall dass man im vorherigen aufgabenteil den satz beweisen musste, dann soll er jetzt wahrscheinlich zur anwendung kommen.
Aber wie? det(E)=1 ist klar
Danke für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 11.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> - Ich brauche den Multiplikationssatz für Determinanten.
> Den habe ich bereits bewiesen, aber was soll ich jetzt mit
> ihm anfangen?
Damit die Aufgabe lösen!  Sind A, B Matrizen mit [m]det(A)=det(b)=1[/m]. Was folgt dann für die Determinante von [m]A*B[/m] und von der von [m]A^{-1}[/m]? Was folgt insgesamt?
SEcki
|
|
|
|
