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Hallo Leute
Ich komme an einer Stelle nicht so richtig weiter. Hoffe ihr könnt mir helfen.
D(t) ist eine orthogonale Matrix.
Wenn D(0)=1 gilt, dann ist [mm] A:=\bruch{d}{dt} [/mm] D(t) an der Stelle t=0 eine antisym. Matrix, d.h. es gilt: [mm] A^{T}=-A
[/mm]
Für diese orth. Matrizen gilt auch [mm] D^{T}*D=1. [/mm] Ich habe nun diesen Ausdruck differenziert und nach [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] D umgestellt.
[mm] A:=\bruch{d}{dt} D=(D^{T})^{-1}*(-\bruch{d}{dt} D^{T}*D)
[/mm]
An der Stelle t=0 ist D, [mm] D^{T}=1
[/mm]
[mm] A=-\bruch{d}{dt} D^{T}
[/mm]
[mm] -A=\bruch{d}{dt} D^{T}
[/mm]
[mm] A^{T}=-\bruch{d}{dt} [/mm] D
Wie zeige ich nun, dass diese beiden letzten Ausdrücke gleich sind? Es scheint richtig zu sein, denn bei einer Beispielmatrix klappt es.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 16.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]-A=\bruch{d}{dt} D^{T}[/mm]
> [mm]A^{T}=-\bruch{d}{dt}[/mm] D
>
> Wie zeige ich nun, dass diese beiden letzten Ausdrücke
> gleich sind?
Die Ableitung einer Matrix ist komponentenweise definiert, also zum Biespiel bei einer [mm]2\times2[/mm]-Matrix:
[mm]\displaystyle\bruch{d}{dt}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\bruch{da_{11}}{dt} & \displaystyle\bruch{da_{12}}{dt} \\[3\jot] \displaystyle\bruch{da_{21}}{dt} & \displaystyle\bruch{da_{22}}{dt} \end{pmatrix}[/mm]
Daraus siehst du, dass es egal ist, ob du erst die transponierte Matrix bildest und dann ableitest, oder umgekehrt.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nochmal
Ich muss doch aber zeigen, dass:
[mm] \bruch{d}{dt} D^{T}=-\bruch{d}{dt}D
[/mm]
Woher kommt denn nun das Minus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 16.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal
>
> Ich muss doch aber zeigen, dass:
> [mm]\bruch{d}{dt} D^{T}=-\bruch{d}{dt}D[/mm]
>
> Woher kommt denn nun das Minus?
Du hast doch ganz am Anfang die A definiert als [mm]\bruch{d}{dt}D[/mm]. Du hast außerdem hergeleitet: [mm]A = - \bruch{d}{dt}D^T[/mm], also [mm]A^T = -\bruch{d}{dt} D = -A[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!
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