orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ergänzen Sie die folgenden Matrizen zu orthogonalen Matrizen.
a) [mm] \bruch{1}{\sqrt{18} } \begin{pmatrix}
? & ? & 0 & 0\\
? & ? & 0 & 0\\
0 & 0 & ? & ? \\
0 & 0 & ? & ? \\
\end{pmatrix}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{?} \begin{pmatrix}
1 & ? & ? & ?\\
0 & ? & ? & ?\\
1 & ? & ? & ? \\
-1 & ? & ? & ? \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hi,
ich habe mich an der Aufgabe versucht und bin mir nicht sicher, ob der Weg den ich zur Lösung prinzipiell falsch ist, oder ich mich nur verrechne.
Mein Lösungsansatz zuerst bzgl. a) ist folgender.
Die Informationen die ich habe sind, dass die Spaltenvektoren untereinander paarweise orthogonal sein müssen, also dass das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sein muss.
Weiter weiß ich, dass der Betrag eines Vektors [mm] \sqrt{18} [/mm] sein muss.
Da Das Skalarprodukt von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] mit [mm] v_3 [/mm] oder [mm] v_4 [/mm] durch die anordnung der 0 innerhalb der Matrix in jedem Falle 0 ergibt reicht es ja aus das Verhältnis zwischen [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sowie [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] zu betrachten.
Aus den Bedngungen, die ich oben genannt habe ergeben sich 3 Gleichungen und da eine Verhältnismäßigkeit zur Bestimmung zweier Orthogonalen Vektoren ausreichen sollte, wenn man einen Wert festlegt müsste ich doch so auf das gewünscht Ergebnis kommen?
Oder irre ich mich da?
Mfg
moffeltoff
|
|
| |
|
> Ergänzen Sie die folgenden Matrizen zu orthogonalen
> Matrizen.
>
> a) [mm] \bruch{1}{\sqrt{18} } \begin{pmatrix}
? & ? & 0 & 0\\
? & ? & 0 & 0\\
0 & 0 & ? & ? \\
0 & 0 & ? & ? \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{?} \begin{pmatrix}
1 & ? & ? & ?\\
0 & ? & ? & ?\\
1 & ? & ? & ? \\
-1 & ? & ? & ? \\
\end{pmatrix}[/mm]
Hui das sieht mir aber sehr wie Mathe II bei Dr. Rößler aus, wenn ich da nicht einen Mitkommilitonen vor mir habe *gg*
>
> Hi,
>
> ich habe mich an der Aufgabe versucht und bin mir nicht
> sicher, ob der Weg den ich zur Lösung prinzipiell falsch
> ist, oder ich mich nur verrechne.
Schauen wir mal, die Lösung ist wirklich ganz einfach.
> Mein Lösungsansatz zuerst bzgl. a) ist folgender.
> Die Informationen die ich habe sind, dass die
> Spaltenvektoren untereinander paarweise orthogonal sein
> müssen, also dass das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sein
> muss.
> Weiter weiß ich, dass der Betrag eines Vektors [mm]\sqrt{18}[/mm]
> sein muss.
Sprich, wir erwarten für die Matrix, dass die Spalten eine ONB bilden.
> Da Das Skalarprodukt von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] mit [mm]v_3[/mm] oder [mm]v_4[/mm]
> durch die anordnung der 0 innerhalb der Matrix in jedem
> Falle 0 ergibt reicht es ja aus das Verhältnis zwischen
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sowie [mm]v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] zu betrachten.
Korrekt, und dort dann natürlich einfach alternierende Vorzeichen.
> Aus den Bedngungen, die ich oben genannt habe ergeben sich
> 3 Gleichungen und da eine Verhältnismäßigkeit zur
> Bestimmung zweier Orthogonalen Vektoren ausreichen sollte,
> wenn man einen Wert festlegt müsste ich doch so auf das
> gewünscht Ergebnis kommen?
> Oder irre ich mich da?
>
> Mfg
>
> moffeltoff
So ist es. Es muss gelten [mm] $\wurzel{18}=\wurzel{v_1^2+v_2^2} [/mm] und daraus wird sehr schnell [mm] \wurzel{9+9} [/mm] und daraus für [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 \pm3.
[/mm]
Wählen wir also [mm] \pm3 [/mm] für jeweils zwei der vier Koordinaten eines SPaltenvektors, so kannst du durch anschließend alternierende Vorzeichen sofort eine orthogonale Matrix notieren. Die b geht dann genauso.
Edit: Ich habe mich für die einfachste und offensichtliche Lösung entschieden, die man sofort sieht, es mag mehrere gegeben, aber es ist ja nicht nach allen Lösungne gefragt ;) Daher kann man es sich hier wirklich sehr einfach machen, wozu mit Kanonen à la LGS auf Spatzen schießen ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 13.09.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Alles klar danke für die Rückmeldung und mit deiner Vermutung bzgl. Mathe II be Dr. Rößler hast du auch recht.
Hoffe, dass der Klassenerhalt ein erreichbares Ziel für mich ist =D
|
|
|
|
