orthogonale Projektion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Fr 13.05.2011 | | Autor: | muminek |
| Aufgabe | | Für welche der folgenden Matrizen ist die Abbildung p: x - > Ax die orthogonale Projektion auf ein Untervektorraum U bzgl. des Standardskalarproduktes. |
Also ich wollte einfach nur mal fragen ob ich das so machen kann oder ob ich komplett auf der falschen Spur bin^^
a)
A=[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Wenn ich ein Vektor x= [mm]{a \choose b}[/mm] (x aus V) mit A multipliziere erhalte ich dem Vektor y mit y=[mm]{a \choose -a}[/mm]. Da es eine Projektion ist, ist y aus U. Ich brauche noch ein z aus orthogonalen komplement U' so dass x=y+z. Somit ist z von der Form z=[mm]{0 \choose a+b}[/mm]. Für das Orthogonale Komplement muss aber gelten: <y,z>=0. Da dies (hier) eine Ungleiching ist, ist p für dieses A keine orthogonale Projektion.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche der folgenden Matrizen ist die Abbildung p: x -
> > Ax die orthogonale Projektion auf ein Untervektorraum U
> bzgl. des Standardskalarproduktes.
> Also ich wollte einfach nur mal fragen ob ich das so
> machen kann oder ob ich komplett auf der falschen Spur
> bin^^
Nein, bist Du nicht, aber es geht doch viel einfacher:
Obige Abb. p ist eine orthogonale Projektion [mm] \gdw A^2=A [/mm] und [mm] A^T=A
[/mm]
FRED
>
> a)
>
> A=[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> Wenn
> ich ein Vektor x= [mm]{a \choose b}[/mm] (x aus V) mit A
> multipliziere erhalte ich dem Vektor y mit y=[mm]{a \choose -a}[/mm].
> Da es eine Projektion ist, ist y aus U. Ich brauche noch
> ein z aus orthogonalen komplement U' so dass x=y+z. Somit
> ist z von der Form z=[mm]{0 \choose a+b}[/mm]. Für das Orthogonale
> Komplement muss aber gelten: <y,z>=0. Da dies (hier) eine
> Ungleiching ist, ist p für dieses A keine orthogonale
> Projektion.
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Fr 13.05.2011 | | Autor: | muminek |
Ja, das würde genau meine zweite Frage sein falls das richtig ist, ob es eben auch etwas einfacher geht :D
Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Fr 13.05.2011 | | Autor: | muminek |
Ok ich hab dann doch eine kurze Frage: Wie komme ich auf die von Dir genannten Beziehungen? In Skript finde ich sie nicht und auf anhieb kann ich es grad auch nicht sehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei V ein eukl. Vektorraum mit Skalaprodukt <*|*> , U sei ein Unterraum von V und p:V [mm] \to [/mm] V sei die orthogonale Projektion von V auf U, d.h. : p ist linear , p(V)=U und [mm] kern(p)=U^{\perp}
[/mm]
So, jetzt nehmen wir x, w [mm] \in [/mm] V. Dann gibt es y,u [mm] \in [/mm] U und z,v [mm] \in U^{\perp} [/mm] mit:
x=y+z und w=u+v
1. Es ist p(x)=y, also [mm] p^2(x)=p(y)=x. [/mm] Damit ist [mm] p^2=p
[/mm]
2. <p(x)|w>= <y|u+v>= <y|u>=<y+z|u>=<x|p(w)>
damit ist p selbstadjungiert.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:21 Fr 13.05.2011 | | Autor: | muminek |
Also, nur mal um zu sehen ob ich es wirklich verstehe:
1) gilt weil p²(x)=p(p(x))=p(y)=p(x-z)=p(x)-p(z)=p(x) (das hast du doch geiment und nicht =x, oder? ( sonst müsste p²(x)=id(x) glaub ich da stehen ))
2)gilt weil <y|u+v>= <y|u>+<y|v>, da y aus U ist und v aus dem orthogonalen Komplement ist gilt folglich <y|v>=0 und somit <y|u+v>= <y|u>(=<y+z|u>)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 15.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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