orthogonale Projektoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 07.07.2009 | | Autor: | gladice |
| Aufgabe | Sei H ein Hilbertraum und P bzw. Q orthogonale Projektoren auf zwei abgeschlossene Unterräume K bzw. L von H.
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) PQ = QP
(2) PQ ist orhogonaler Projektor
(3) K [mm] \cap [/mm] ( K [mm] \cap [/mm] L [mm] )\perp [/mm] und L [mm] \cap [/mm] ( K [mm] \cap [/mm] L [mm] )\perp [/mm] sind orthogonal
(die Orthogonalzeichen sollen hochgestellt sein) |
Hallo Leute!
Ich bitte dringend um Hilfe bei dieser Aufgabe!
Ich muss sie morgen mittag abgeben und habe absolut keine Idee :-((
Bis jetzt habe ich versucht sie selber zu lösen, aber ich komme damit leider überhaupt nicht klar!
Ich wäre wirklich sehr dankbar!
Liebe Grüße und danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei H ein Hilbertraum und P bzw. Q orthogonale Projektoren
> auf zwei abgeschlossene Unterräume K bzw. L von H.
> Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
> (1) PQ = QP
> (2) PQ ist orhogonaler Projektor
> (3) K [mm]\cap[/mm] ( K [mm]\cap[/mm] L [mm])^\perp[/mm] und L [mm]\cap[/mm] ( K [mm]\cap[/mm] L [mm])^\perp[/mm]
> sind orthogonal
>
> Hallo Leute!
>
> Ich bitte dringend um Hilfe bei dieser Aufgabe!
> Ich muss sie morgen mittag abgeben und habe absolut keine
> Idee :-((
Nun, fangen wir doch mal ganz langsam an. Wann genau ist eine lineare Abbildung $P : H [mm] \to [/mm] H$ ein orthogonaler Projektor? Schreib mal die Definition hin.
> Bis jetzt habe ich versucht sie selber zu lösen, aber ich
> komme damit leider überhaupt nicht klar!
Ganz allgemein zeigt man ja entweder (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (1) oder (1) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (2) und danach (1) [mm] $\wedge$ [/mm] (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) und dann (3) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (1) [mm] $\vee$ [/mm] (2).
Versuch doch erstmal (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2) zu zeigen. Du weist, dass $P Q = Q P$ ist. Was musst du jetzt zeigen? (Dazu brauchst du erstmal die Definition, also wann $P Q$ ein orthogonaler Projektor ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 08.07.2009 | | Autor: | gladice |
Ein Projektor ist genau dann orthogonal, wenn er selbstadjungiert ist.
Also muss ich aus PQ = QP irgendwie folgern, dass PQ* = PQ ist und meine Vermutung ist, dass das irgendwie durch Umformung geht, aber mir ist nicht klar wie...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist, wegen PQ=QP,
[mm] $(PQ)^2 [/mm] = PQPQ = [mm] P^2Q^2 [/mm] = PQ$
PQ ist also eine Projektion
Weiter, da P und Q orthogonale Projektionen sind: [mm] $(PQ)^{\*} [/mm] = [mm] (QP)^{\*}= P^{\*}Q^{\*} [/mm] = PQ$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 08.07.2009 | | Autor: | gladice |
Ich habe noch eine Frage:
Wenn nicht gilt PQ = QP, wieso ist dann PQ kein orhogonaler Projektor?
Hast du dazu eine Idee?
Und hast du noch einen Tipp zu [mm] (2)\Rightarrow(3) [/mm] und [mm] (3)\Rightarrow(1)?
[/mm]
Ich bin leider so unter Zeitdruck heute...
Tut mir wirklich leid!
Und vielen Dank für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe noch eine Frage:
>
> Wenn nicht gilt PQ = QP, wieso ist dann PQ kein orhogonaler
> Projektor?
Ist PQ ein ort. Projektor, so gilt:
$QP = [mm] Q^{\*}P^{\*}= (PQ)^{\*} [/mm] = PQ$
FRED
> Hast du dazu eine Idee?
>
> Und hast du noch einen Tipp zu [mm](2)\Rightarrow(3)[/mm] und
> [mm](3)\Rightarrow(1)?[/mm]
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> Ich bin leider so unter Zeitdruck heute...
> Tut mir wirklich leid!
> Und vielen Dank für deine Hilfe!
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