orthogonale Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 12.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Warum ist jeder der folgenden Aussagen falsch?
a,
[mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \bot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}, [/mm] daher sind die Ebenen x + y + z = 0 und x + y -2z = 0 orthogonale Unterräume.
b,
Der Unterrraum, der von [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] aufgespannt wird, ist orthogonal zum Unterraum, der von [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix} [/mm] augespannt wird.
c,
Wenn zwei Unterräume nur den Nullvektor gemeinsam haben, sind sie orthogonal. |
Hallo,
a,
Ich habe erstmal überprüft, ob dem wirklich so ist und jeweils einen Punkt aus der Ebene genommen.
Die beiden Punkte lauten: [mm] \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}. [/mm] Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt 6, somit sind diese beiden nicht senkrecht zueinander und somit auch nicht die beiden Ebenen.
Laut Definition muss jeder Vektor aus dem einen Unterraum senkrecht zu jedem Vektor aus dem anderen Unterraum stehen. Dann sind die beiden Unterräume senkrecht zueinander.
Ich kann jedoch nicht begründen warum, dem so ist. Sind diese zwei Ebenen im [mm] \IR^3? [/mm] Wenn ja, dann wüsste ich eine Erklärung.
b,
Die Vektoren bilden jeweils zwei Unterräume, sie sind linear unabhängig und spannen den Raum (Linearkombinationen) auf.
Ich habe nun die Definition angewendet, dass zwei Unterräume V, W orthogonal sind, wenn jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V senkrecht zu jedem Vektor w [mm] \in [/mm] W steht.
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] w_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix} [/mm]
Dann habe ich alle Kombinationen der Vektoren überprüft:
1. [mm] v_1 \bot w_1, [/mm] ja
2. [mm] v_1 \bot w_2, [/mm] ja
3. [mm] v_2 \bot w_1, [/mm] ja
4. [mm] v_2 \bot w_2, [/mm] ja
Somit sind alle Vektoren zueinander senkrecht, also die Unterräume orthogonal. Somit stimmt die Aussage doch und es ist nicht falsch?
Oder habe ich etwas übersehen?
c,
Hierbei fehlt mir vollkommen der Ansatz.
Vielen Dank im Voraus
itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Fr 13.11.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
mir sind noch ein paar Dingen eingefallen.
a,
Es müssten doch zwei Ebenen im [mm] \IR^3 [/mm] sein. Laut meiner Vorlesung von gestern, sind Ebenen in [mm] \IR^3 [/mm] nie orthogonal. Begründung:
Orthogonalität von Unterräumen:
S, T Unterräume (von [mm] \IR^n) [/mm] sind orthogonal S [mm] \bot [/mm] T wenn jedes v [mm] \in [/mm] S zu jedem w [mm] \in [/mm] T orthogonal ist.
Prüfung für zwei Ebenen in [mm] \IR^3:
[/mm]
v [mm] \in [/mm] S und v [mm] \in [/mm] T
Test: [mm] v^T [/mm] v = [mm] ||v||^2 \not= [/mm] 0
v [mm] \bot [/mm] v ? NEIN
Die Verbindungslinien zwischen zwei Ebenen gehört ja zu S und T, jedoch gibt es dort Vektoren entlang beider Ebenen, die nicht senkrecht zueinander stehen. Somit sind Ebenen in [mm] \IR^3 [/mm] nicht orthogonal.
Wäre dies eine richtige Begründung?
Somit wäre die Aussage: Zwei Ebenen in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ können nicht orthogonal sein
aus einer vorangegangenen Diskussion: Antwort von angela doch richtig.
c,
Wenn die beiden Ebenen nur den Nullvektor gemeinsam haben, steht aber jeder andere Vektor aus den Unterräumen auch senkrecht zum Nullvektor. Dieser ist ja überall inbegriffen. Somit können diese beiden gar nicht orthogonal zueinander sein.
Kann man irgendwie so argumentieren?
Besten Dank
itse
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> a,
>
> Es müssten doch zwei Ebenen im [mm]\IR^3[/mm] sein. Laut meiner
> Vorlesung von gestern, sind Ebenen in [mm]\IR^3[/mm] nie orthogonal.
> Begründung:
>
> Orthogonalität von Unterräumen:
>
> S, T Unterräume (von [mm]\IR^n)[/mm] sind orthogonal S [mm]\bot[/mm] T wenn
> jedes v [mm]\in[/mm] S zu jedem w [mm]\in[/mm] T orthogonal ist.
Hallo,
Vorsicht!
Daß zwei Ebenen orthogonal sein können, das weiß man ja nun aus Erfahrung, oder? Denke an Schuhkartons.
Ganz gewiß können sich Ebenen im Winkel von 90° schneiden.
Richtig ist allerdings, daß zwei Ebenen des [mm] \IR^3 [/mm] durch den Ursprung (also 2-dim Unterräume des [mm] \IR^3) [/mm] im Sinne der obigen Definition niemals orthogonale Unterräume sein können aus dem Grund, daß sie sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind, sie also einen vom Nullvektor gemeinsamen Vektor v haben.
>
> Prüfung für zwei Ebenen in [mm]\IR^3:[/mm]
>
> v [mm]\in[/mm] S und v [mm]\in[/mm] T
> Test: [mm]v^T[/mm] v = [mm]||v||^2 \not=[/mm] 0
>
> v [mm]\bot[/mm] v ? NEIN
Wir haben also in Deiner Aufgabe den Fall, daß die Ebenen geometrisch gesehen sehr wohl orthogonal sind - also einen Winkel von 90° einschließen -, aber eben keine orthogonalen Unterräume sind.
(Das ist ein bißchen blöd irgendwie.)
>
>
> Die Verbindungslinien zwischen zwei Ebenen gehört ja zu S
> und T, jedoch gibt es dort Vektoren entlang beider Ebenen,
> die nicht senkrecht zueinander stehen. Somit sind Ebenen in
> [mm]\IR^3[/mm] nicht orthogonal.
>
> Wäre dies eine richtige Begründung?
Ja.
>
> Somit wäre die Aussage: Zwei Ebenen in [mm]\IR^3[/mm] können nicht
> orthogonal sein
Ja. Wenn man mit orthogonal "orthogonale Unterräume" meint.
>
> aus einer vorangegangenen Diskussion:
> Antwort von angela
> doch richtig.
>
>
>
> c,
>
> Wenn die beiden Ebenen nur den Nullvektor gemeinsam haben,
> steht aber jeder andere Vektor aus den Unterräumen auch
> senkrecht zum Nullvektor. Dieser ist ja überall
> inbegriffen. Somit können diese beiden gar nicht
> orthogonal zueinander sein.
>
> Kann man irgendwie so argumentieren?
Nein.
Bist Du gerade im [mm] \IR^3?
[/mm]
Es können zwei Ebenen durch den Ursprung (nur diese sind Unterräume) nicht nur den Nullvektor gemeinsam haben.
Überleg die Aufgabe mal im [mm] \IR^2:
[/mm]
Nimm mal zwei eindimensionale Unterräume, die nur den Nullvektor gemeinsam haben.
Sind sie in jedem Falle orthogonal?
Gruß . Angela
>
> Besten Dank
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Fr 13.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo angela,
> > c,
> >
> > Wenn die beiden Ebenen nur den Nullvektor gemeinsam haben,
> > steht aber jeder andere Vektor aus den Unterräumen auch
> > senkrecht zum Nullvektor. Dieser ist ja überall
> > inbegriffen. Somit können diese beiden gar nicht
> > orthogonal zueinander sein.
> >
> > Kann man irgendwie so argumentieren?
>
> Nein.
> Bist Du gerade im [mm]\IR^3?[/mm]
> Es können zwei Ebenen durch den Ursprung (nur diese sind
> Unterräume) nicht nur den Nullvektor gemeinsam haben.
>
> Überleg die Aufgabe mal im [mm]\IR^2:[/mm]
>
> Nimm mal zwei eindimensionale Unterräume, die nur den
> Nullvektor gemeinsam haben.
> Sind sie in jedem Falle orthogonal?
Wir befinden uns also im [mm] \IR^2 [/mm] und wir haben zwei Geraden als eindimensionale Unterräume [mm] \IR.
[/mm]
Diese haben nur den Nullvektor gemeinsam, schneiden sich also dort.
Dies kann aber auf unendlich viele unterschiedliche Weisen, Ausrichtung im Raum erfolgen.
Somit gibt es Winkel außer 90 Grad, bei dem sich die beiden Geraden nur im Nullvektor schneiden, nur diesen gemeinsam haben.
Die Schnittmenge, sagt nichts darüber aus, wie die Orientierung der Geraden im Raum, Winkel zueinander ist.
Dies müsste doch so stimmen?
Nur zur Sicherheit, bin grad etwas verwirrt.
Gruß
itse
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> Hallo angela,
>
> > > c,
> > >
> > > Wenn die beiden Ebenen nur den Nullvektor gemeinsam haben,
> > > steht aber jeder andere Vektor aus den Unterräumen auch
> > > senkrecht zum Nullvektor. Dieser ist ja überall
> > > inbegriffen. Somit können diese beiden gar nicht
> > > orthogonal zueinander sein.
> > >
> > > Kann man irgendwie so argumentieren?
> >
> > Nein.
> > Bist Du gerade im [mm]\IR^3?[/mm]
> > Es können zwei Ebenen durch den Ursprung (nur diese
> sind
> > Unterräume) nicht nur den Nullvektor gemeinsam haben.
> >
> > Überleg die Aufgabe mal im [mm]\IR^2:[/mm]
> >
> > Nimm mal zwei eindimensionale Unterräume, die nur den
> > Nullvektor gemeinsam haben.
> > Sind sie in jedem Falle orthogonal?
>
> Wir befinden uns also im [mm]\IR^2[/mm] und wir haben zwei Geraden
> als eindimensionale Unterräume [mm]\IR.[/mm]
>
> Diese haben nur den Nullvektor gemeinsam, schneiden sich
> also dort.
>
> Dies kann aber auf unendlich viele unterschiedliche Weisen,
> Ausrichtung im Raum erfolgen.
>
> Somit gibt es Winkel außer 90 Grad, bei dem sich die
> beiden Geraden nur im Nullvektor schneiden, nur diesen
> gemeinsam haben.
>
> Die Schnittmenge, sagt nichts darüber aus, wie die
> Orientierung der Geraden im Raum, Winkel zueinander ist.
>
> Dies müsste doch so stimmen?
Hallo,
am besten überezugst Du, wenn Du einfach zwei Geraden bzw. Unterräume angibst, die sich im Ursprung schneiden und nicht orthogonal sind. z.b.
[mm] U:=<\vektor{1\\0}> [/mm] und [mm] W:=<\vektor{1\\1}>.
[/mm]
Dann rechne vor, daß die Unterräume nicht orthogonal sind.
Gruß v. Angela
>
> Nur zur Sicherheit, bin grad etwas verwirrt.
>
> Gruß
> itse
>
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> Warum ist jeder der folgenden Aussagen falsch?
>
> a,
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \bot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix},[/mm]
> daher sind die Ebenen x + y + z = 0 und x + y -2z = 0
> orthogonale Unterräume.
Hallo,
zu a. siehe die andere Antwort.
>
>
> b,
>
> Der Unterrraum, der von [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
> aufgespannt wird, ist orthogonal zum Unterraum, der von
> [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix}[/mm]
> augespannt wird.
> b,
>
> Die Vektoren bilden jeweils zwei Unterräume, sie sind
> linear unabhängig und spannen den Raum
> (Linearkombinationen) auf.
>
> Ich habe nun die Definition angewendet, dass zwei
> Unterräume V, W orthogonal sind, wenn jeder Vektor v [mm]\in[/mm] V
> senkrecht zu jedem Vektor w [mm]\in[/mm] W steht.
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm]
> und [mm]w_2[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Dann habe ich alle Kombinationen der Vektoren überprüft:
>
> 1. [mm]v_1 \bot w_1,[/mm] ja
> 2. [mm]v_1 \bot w_2,[/mm] ja
> 3. [mm]v_2 \bot w_1,[/mm] ja
> 4. [mm]v_2 \bot w_2,[/mm] ja
Das, was Du hier tust, entspricht nicht ganz der Def., lt. derer Du prüfen mußt, ob jeder Vektor von V senkrecht zu jedem von W ist.
Du müßtest also vorrechnen, daß für alle [mm] a_i,b_i [/mm] gilt, daß
[mm] a_1v_1+a_2v_2 \perp b_1w_1+b_2w_2,
[/mm]
was sich allerdings sofort aus obigem mit den Eigenschaften des Skalarproduktes ergibt.
Wir halten fest: für alle [mm] v\in [/mm] V und [mm] w\in [/mm] W gilt: [mm] v\perp [/mm] w. Also sind Deine beiden Unterräume orthogonale Unterräume.
>
> Somit sind alle Vektoren zueinander senkrecht, also die
> Unterräume orthogonal. Somit stimmt die Aussage doch und
> es ist nicht falsch?
> Oder habe ich etwas übersehen?
Tja, das habe ich mich nun auch gefragt...
Es ist mir ja schon bei manchen Deiner Aufgaben aufgefallen, daß Eure LA-Übung es daraufanlegt, die Leute in den Wahnsinn zu teiben...
Ich find' die Aufgaben echt manchmal komisch.
Ich vermute, daß bei Euch gerade das Spiel mit der Orthogonalität gespielt wird in dem an sich lobenswerten Ansinnen, Definitionen fein auseinanderzuhalten.
Und hier hätten wir dreierlei:
1. Gebilde U und W, die sich im rechten Winkel schneiden
2. U,W sind orthogonale Unterräume: die Elemente des einen sind alle orthogonal zu denen des anderen.
3. U ist zu W orthogonaler Unterraum: [mm] W:=\{v\in V| u*v=0 für \quad alle \quad u\in U\}. [/mm] Man bezeichnet diesen Raum auch mit [mm] U^{\perp}. [/mm] Er enthält sämtliche (!) Vektoren des V, die orthogonal zu denen von U sind.
In Deiner Aufgabe b) haben wir den Fall, daß die beiden Räume orthogonal sind.
Der zweite Raum ist aber nicht zum ersten orthogonal, denn ihm fehlt der Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1\\0\\0}
[/mm]
Schau mal nach, ob Ihr diese drei Begriffe hattet, das wäre dann die Erklärung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Fr 13.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo angela,
ja, diese drei Definitionen hatten wir, samt dem orthogonalen Komplement.
Vielen Dank
itse
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