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| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] der Form [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] für a,b,c [mm] \in \IR. [/mm] (Polynomfunktionrn vom Grad höchstens 2.) Man zeige, dass durch
[mm] :=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}
[/mm]
ein positiv definites Skalarprodukt auf V definiert ist und bestimme dazu eine Orthonormalbasis von V. |
Hallo ich habe mit dieser Aufgabe ganz schöne Probleme weil ich gar nicht weiß wo ich anfangen soll...
ich muss ja posit definit zeigen, denn das es sich um eine Bilinearform handelt und das sie symmetrisch ist und dann muss ich noch die Orthonormalbasis bestimmen oder?
Bei mir gehen die Probleme jedoch schon am Anfang los wie prüfe ich das das Integral positiv definit ist?
Kann mir bitte jemand weiter helfen.
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 17.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Sei V der [mm]\IR[/mm] - Vektorraum aller Funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> der Form [mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm] für a,b,c [mm]\in \IR.[/mm]
> (Polynomfunktionrn vom Grad höchstens 2.) Man zeige, dass
> durch
> [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> ein positiv
> definites Skalarprodukt auf V definiert ist und bestimme
> dazu eine Orthonormalbasis von V.
> Hallo ich habe mit dieser Aufgabe ganz schöne Probleme
> weil ich gar nicht weiß wo ich anfangen soll...
>
> ich muss ja posit definit zeigen, denn das es sich um eine
> Bilinearform handelt und das sie symmetrisch ist und dann
> muss ich noch die Orthonormalbasis bestimmen oder?
Ja. Dann fang doch erst einmal von vorne an und zeige, dass es symmetrisch und billinear ist. Also
Symmetrie $<f,g>=<g,f>$ und Billinearität folgen ja eigentlich direkt aus den Eigenschaften des Integrals:
[mm]\integral_{0}^{1}{(f+g)(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t)+g(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t) dt}+\integral_{0}^{1}g(t) dt}[/mm]
Bei der positiven Definitheit brauchst du ja nur zu zeigen, dass
[mm]\integral_{0}^{1}{f(t) f(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t)^2 dt}>0[/mm]
>
> Bei mir gehen die Probleme jedoch schon am Anfang los wie
> prüfe ich das das Integral positiv definit ist?
>
> Kann mir bitte jemand weiter helfen.
>
> LG Schmetterfee
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> > Sei V der [mm]\IR[/mm] - Vektorraum aller Funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> > der Form [mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm] für a,b,c [mm]\in \IR.[/mm]
> > (Polynomfunktionrn vom Grad höchstens 2.) Man zeige, dass
> > durch
> > [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> > ein positiv
> > definites Skalarprodukt auf V definiert ist und bestimme
> > dazu eine Orthonormalbasis von V.
> > Hallo ich habe mit dieser Aufgabe ganz schöne Probleme
> > weil ich gar nicht weiß wo ich anfangen soll...
> >
> > ich muss ja posit definit zeigen, denn das es sich um eine
> > Bilinearform handelt und das sie symmetrisch ist und dann
> > muss ich noch die Orthonormalbasis bestimmen oder?
> Ja. Dann fang doch erst einmal von vorne an und zeige,
> dass es symmetrisch und billinear ist. Also
> Symmetrie [mm]=[/mm] und Billinearität folgen ja
> eigentlich direkt aus den Eigenschaften des Integrals:
> [mm]\integral_{0}^{1}{(f+g)(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t)+g(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t) dt}+\integral_{0}^{1}g(t) dt}[/mm]
>
>
> Bei der positiven Definitheit brauchst du ja nur zu zeigen,
> dass
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(t) f(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t)^2 dt}>0[/mm]
>
Kann ich f(t) und g(t) einfach zu [mm] f^{2}(t) [/mm] zusammen fassen?
würde ich dann bei der symmetrie einfach die Kommutativität nutzen und sagen:
[mm] =\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}=\integral_{0}^{1}{g(t) f(t) dt}=
[/mm]
aber das wäre doch zu einfach das einfach nur so um zudrehen oder?
und für bilinearität muss ich ja nach rechnen dass:
1) [mm] \phi (x_{1}+x_{2},y)= \phi (x_{1},y)+\phi (x_{2},y)
[/mm]
2) [mm] \phi [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] x,y)= [mm] \alpha \phi [/mm] (x,y)
3) [mm] \phi [/mm] (x, [mm] y_{1}+y_{2}) [/mm] = [mm] \phia [/mm] (x, [mm] y_{1})+ \phi [/mm] (x, [mm] y_{2})
[/mm]
4) [mm] \phi [/mm] (x, [mm] \alpha [/mm] y)= [mm] \alpha \phi [/mm] (x,y)
aber wie kann ich das mit integralen durch rechnen? kann mir das bitte jemand an einem Beispiel erkären?
Lg Schmetterfee
> >
> > Bei mir gehen die Probleme jedoch schon am Anfang los wie
> > prüfe ich das das Integral positiv definit ist?
> >
> > Kann mir bitte jemand weiter helfen.
> >
> > LG Schmetterfee
>
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> > > [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
Für die Billinearität reicht wirklich aus die Symmetrie und die Linearität im ersten Argument zu zeigen
<f+g,h>=<f,h>+<g,h>
<af,g>=a<f,g>
Übersetze es doch einfach eins zu eins
[mm]:=\integral_{0}^{1}{(f+g)(t) h(t) dt}=\ldots=\integral_{0}^{1}{f(t) h(t) dt}+\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}=+[/mm]
[mm]:=\integral_{0}^{1}{(af)(t) h(t) dt}=\ldots=a[/mm]
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> > > > [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> Für die
> Billinearität reicht wirklich aus die Symmetrie und die
> Linearität im ersten Argument zu zeigen
> <f+g,h>=<f,h>+<g,h>
> <af,g>=a<f,g>
>
das wäre denn ja:
[mm] =\integral_{0}^{1}{(f+g)(t) h(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t) h(t) dt}+ \integral_{0}^{1}{g(t) h(t) dt}=+
[/mm]
oder muss da noch irgendwo ein schritt dazwischen?
[mm] \alpha f,h>:=\integral_{0}^{1}{( \alpha f)(t) h(t) dt}=\alpha \integral_{0}^{1}{f(t) h(t) dt}= \alpha [/mm] <f,h>
und die positiv definiheit muss ich ja zeigen dass
[mm] \integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm] >0 ist aber ich weiß doch gar nix über das integral was soll ich denn da zeigen?
Lg Schmetterfee
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> > > > > [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> > Für
> die
> > Billinearität reicht wirklich aus die Symmetrie und die
> > Linearität im ersten Argument zu zeigen
> > <f+g,h>=<f,h>+<g,h>
> > <af,g>=a<f,g>
> >
Hallo,
die Symmetrie hast Du schon?
> das wäre denn ja:
> [mm]=\integral_{0}^{1}{(f+g)(t) h(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t) h(t) dt}+ \integral_{0}^{1}{g(t) h(t) dt}=+[/mm]
>
> oder muss da noch irgendwo ein schritt dazwischen?
Nein.
>
> [mm]\alpha f,h>:=\integral_{0}^{1}{( \alpha f)(t) h(t) dt}
=\integral_{0}^{1}{\alpha f(t) h(t) dt}
> =\alpha \integral_{0}^{1}{f(t) h(t) dt}= \alpha[/mm] <f,h>
>
> und die positiv definiheit muss ich ja zeigen dass
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm] >0
Nein.
Du mußt doch zeigen, daß <f,f> >0 für [mm] f\not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > > > > > [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> > >
> Für
> > die
> > > Billinearität reicht wirklich aus die Symmetrie und die
> > > Linearität im ersten Argument zu zeigen
> > > <f+g,h>=<f,h>+<g,h>
> > > <af,g>=a<f,g>
> > >
>
> Hallo,
>
> die Symmetrie hast Du schon?
>
ja das ist ja einfach:
[mm] =\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f(t) dt}+ \integral_{0}^{1}{g(t) dt}=\integral_{0}^{1}{g(t) dt}+ \integral_{0}^{1}{f(t) dt}=\integral_{0}^{1}{g(t) f(t) dt}= [/mm]
> >
> > und die positiv definiheit muss ich ja zeigen dass
> > [mm]\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm] >0
>
> Nein.
>
> Du mußt doch zeigen, daß <f,f> >0 für [mm]f\not=0.[/mm]
>
[mm] =\integral_{0}^{1}{f(t) f(t) dt}=\integral_{0}^{1}{f^{2}(t) dt}
[/mm]
und ein quadrat ist ja immer positiv aber darauf folgt doch nocht nicht das das integral positiv definit ist oder?
Lg Schmetterfee
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Hier hilft Analysis weiter.
Sei f eine stetige Funktion auf [a,b] und [mm] $f(t)\neq [/mm] 0$ für ein [mm] $t\in[a,b]$, [/mm] so gilt [mm] $\int_{a}^{b}{(f(t))^2 dt}>0$
[/mm]
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> Hier hilft Analysis weiter.
> Sei f eine stetige Funktion auf [a,b] und [mm]f(t)\neq 0[/mm] für
> ein [mm]t\in[a,b][/mm], so gilt [mm]\int_{a}^{b}{(f(t))^2 dt}>0[/mm]
Tut mir leid ich habe noch kein Analysis weil ich auf Lehramt studiere unser Prof meinte aber das man bekanntes wissen aus Analysis verwenden kann. Muss ich dann noch irgend etwas zeigen oder reicht das wenn ich diese definition hin schreibe?
und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
LG Schmetterfee
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> > Hier hilft Analysis weiter.
> > Sei f eine stetige Funktion auf [a,b] und [mm]f(t)\neq 0[/mm]
> für
> > ein [mm]t\in[a,b][/mm], so gilt [mm]\int_{a}^{b}{(f(t))^2 dt}>0[/mm]
>
> Tut mir leid ich habe noch kein Analysis weil ich auf
> Lehramt studiere unser Prof meinte aber das man bekanntes
> wissen aus Analysis verwenden kann. Muss ich dann noch
> irgend etwas zeigen oder reicht das wenn ich diese
> definition hin schreibe?
Hallo,
das ist keine Definition...
Ich würde nichts zeigen, sondern einfach schreiben: "aus der Analysis weiß man..."
>
> und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du nachweist, daß sie orthonormal ist.
Gruß v. Angela
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> > und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> > ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
>
> Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
>
> Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch
> wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du
> nachweist, daß sie orthonormal ist.
>
naja ich würde mir persönlich wahrscheinlich die Basis [mm] x^{2}+x+1 [/mm] wählen
nun haben wir aber als Begleitbuch zur Vorlesung das Buch von Bosch und da habe ich die Aufgabe drin gefundenund dort steht ein Tipp und zwar:
Für n=2 wende man das E. Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis [mm] 1,T,T^{2} [/mm] von [mm] \IR [T]_{2} [/mm] an.
nun würde ich dies gern versuchen so zu machen aber weiß leider nicht sorecht wie anzufangen. kann mir jemand helfen?
LG Schmetterfee
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> > > und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> > > ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
> >
> > Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
> >
> > Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch
> > wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du
> > nachweist, daß sie orthonormal ist.
> >
> naja ich würde mir persönlich wahrscheinlich die Basis
> [mm]x^{2}+x+1[/mm] wählen
> nun haben wir aber als Begleitbuch zur Vorlesung das Buch
> von Bosch und da habe ich die Aufgabe drin gefundenund dort
> steht ein Tipp und zwar:
> Für n=2 wende man das E. Schmidtsche
> Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
>[mm]1,T,T^{2}[/mm] von
> [mm]\IR [T]_{2}[/mm] an.
Weißt du was das bedeutet?
Als Basis nehm ich jetzt [mm] $a_0=1,a_1=x,a_2=x^2$
[/mm]
Dann kannst du deine Basisvektoren in das Gram-Schmidt-Verfahren (Orthogonalisieren) schicken:
[mm] $b_0=1$,
[/mm]
$ [mm] b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i} [/mm] $ Fehler korrigiert
[mm] $b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1$
[/mm]
> nun würde ich dies gern versuchen so zu machen aber weiß
> leider nicht sorecht wie anzufangen. kann mir jemand
> helfen?
>
> LG Schmetterfee
> >
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> > > > und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> > > > ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
> > >
> > > Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
> > >
> > > Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch
> > > wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du
> > > nachweist, daß sie orthonormal ist.
> > >
> > naja ich würde mir persönlich wahrscheinlich die Basis
> > [mm]x^{2}+x+1[/mm] wählen
> > nun haben wir aber als Begleitbuch zur Vorlesung das
> Buch
> > von Bosch und da habe ich die Aufgabe drin gefundenund dort
> > steht ein Tipp und zwar:
> > Für n=2 wende man das E. Schmidtsche
> > Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
>
> >[mm]1,T,T^{2}[/mm] von
> > [mm]\IR [T]_{2}[/mm] an.
> Weißt du was das bedeutet?
> Als Basis nehm ich jetzt [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]
>
> Dann kannst du deine Basisvektoren in das
> Gram-Schmidt-Verfahren (Orthogonalisieren) schicken:
> [mm]b_0=1[/mm],[mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{(a_i,b_{i-1})}{(b_i,b_i)}b_i}[/mm]
>
> [mm]b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1[/mm]
>
würde ich das denn so als Basisvektor stehn lassen oder nochmehr machen?
ich muss zu geben so ganz versteh ich das noch net.
für [mm] b_2=x^{2}-\frac{(x^{2},x)}{x,x}x=x^{2}-\frac{\int_{0}^{1}{x^{2}\cdot x}dx}{\int_{0}^{1}{x\cdot x}dx}x [/mm]
oder?muss ich da jetzt noch was weiter machen oder wars das schon?
LG Schmetterfee
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> > > > > und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> > > > > ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
> > > >
> > > > Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
> > > >
> > > > Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch
> > > > wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du
> > > > nachweist, daß sie orthonormal ist.
> > > >
> > > naja ich würde mir persönlich wahrscheinlich die Basis
> > > [mm]x^{2}+x+1[/mm] wählen
> > > nun haben wir aber als Begleitbuch zur Vorlesung das
> > Buch
> > > von Bosch und da habe ich die Aufgabe drin gefundenund dort
> > > steht ein Tipp und zwar:
> > > Für n=2 wende man das E. Schmidtsche
> > > Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
> >
> > >[mm]1,T,T^{2}[/mm] von
> > > [mm]\IR [T]_{2}[/mm] an.
> > Weißt du was das bedeutet?
> > Als Basis nehm ich jetzt [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]
> >
> > Dann kannst du deine Basisvektoren in das
> > Gram-Schmidt-Verfahren (Orthogonalisieren) schicken:
> > [mm]b_0=1[/mm],[mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{(a_i,b_{i-1})}{(b_i,b_i)}b_i}[/mm]
>
> >
> > [mm]b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1[/mm]
>
> >
> würde ich das denn so als Basisvektor stehn lassen oder
> nochmehr machen?
Ich würde es ausrechnen
[mm]b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1=x-\frac{0.5}{1}1=x-0.5[/mm]
> ich muss zu geben so ganz versteh ich das noch net.
Du hast deine Basisvektoren hier [mm] $1,x,x^2$. [/mm] Dann ziehst du stur das Gram-Schmidtverfahren noch durch. Hast du das Verfahren schon einmal bei "normalen" Vektoren und dem Standardskalarprodukt durchgerechnet?
Hier steht auch etwas richtig bei Wikipedia dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
> für
> [mm]b_2=x^{2}-\frac{(x^{2},x)}{x,x}x=x^{2}-\frac{\int_{0}^{1}{x^{2}\cdot x}dx}{\int_{0}^{1}{x\cdot x}dx}x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
da fehlt ja der Term zu [mm] $b_1$. [/mm] Dein [mm] $b_2$ [/mm] soll ja auch senkrecht auf [mm] $b_0$ [/mm] und [mm] $b_1$ [/mm] stehen
> oder?muss ich da jetzt noch was weiter machen oder wars das
Nein noch nicht. Da fehlt noch das normieren. Du wolltest ja eine ONB.
> schon?
>
> LG Schmetterfee
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> > > > > > und wie finde ich dann noch die Orthonomrmalbasis? brauch
> > > > > > ich dafür das Schmidte Orthonormalsisierungsverfahren?
> > > > >
> > > > > Das wäre ein sicherer Weg zum Ziel.
> > > > >
> > > > > Du kannst aber natürlich jede beliebige Basis nehmen, auch
> > > > > wenn sie Dir vom Himmel geschickt ist - sofern Du
> > > > > nachweist, daß sie orthonormal ist.
> > > > >
> > > > naja ich würde mir persönlich wahrscheinlich die Basis
> > > > [mm]x^{2}+x+1[/mm] wählen
> > > > nun haben wir aber als Begleitbuch zur Vorlesung
> das
> > > Buch
> > > > von Bosch und da habe ich die Aufgabe drin gefundenund dort
> > > > steht ein Tipp und zwar:
> > > > Für n=2 wende man das E. Schmidtsche
> > > > Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
> > >
> > > >[mm]1,T,T^{2}[/mm] von
> > > > [mm]\IR [T]_{2}[/mm] an.
> > > Weißt du was das bedeutet?
> > > Als Basis nehm ich jetzt [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]
> > >
> > > Dann kannst du deine Basisvektoren in das
> > > Gram-Schmidt-Verfahren (Orthogonalisieren) schicken:
> > > [mm]b_0=1[/mm],[mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{(a_i,b_{i-1})}{(b_i,b_i)}b_i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1[/mm]
>
> >
> > >
> > würde ich das denn so als Basisvektor stehn lassen oder
> > nochmehr machen?
> Ich würde es ausrechnen
>
> [mm]b_1=x-\frac{(x,1)}{1,1}1=x-\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1=x-\frac{0.5}{1}1=x-0.5[/mm]
>
>
> > ich muss zu geben so ganz versteh ich das noch net.
> Du hast deine Basisvektoren hier [mm]1,x,x^2[/mm]. Dann ziehst du
> stur das Gram-Schmidtverfahren noch durch. Hast du das
> Verfahren schon einmal bei "normalen" Vektoren und dem
> Standardskalarprodukt durchgerechnet?
> Hier steht auch etwas richtig bei Wikipedia dazu:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
>
> > für
> >
[mm] b_2=x^{2}-\frac{(x^{2},x)}{x,x}x=x^{2}-\frac{\int_{0}^{1}{x^{2}\cdot x}dx}{\int_{0}^{1}{x\cdot x}dx}x+\frac{\int_{0}^{1}{x\cdot 1}dx}{\int_{0}^{1}{1\cdot 1}dx}1
[/mm]
aber was wäre das denn ausgerechnet?
> da fehlt ja der Term zu [mm]b_1[/mm]. Dein [mm]b_2[/mm] soll ja auch
> senkrecht auf [mm]b_0[/mm] und [mm]b_1[/mm] stehen
> > oder?muss ich da jetzt noch was weiter machen oder wars das
> Nein noch nicht. Da fehlt noch das normieren. Du wolltest
> ja eine ONB.
und wie würde ich das denn weiter machen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 17.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Schmetterfee
Warum kannst du die Integrale denn nicht ausrechnen [mm] x^n [/mm] wirst du doch wohl integrieren können? und die Grenzen einsetzen?
Gruss leduart
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Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist [mm] $a_0=1,a_1=x,a_2=x^2$. [/mm] Dein Skalarprodukt ist wie folgt definiert: $ [mm] :=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm] $. Jetzt orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender Formel:
$ [mm] b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i} [/mm] $ (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
[mm] $b_0:=a_0$
[/mm]
[mm] $b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}$
[/mm]
[mm] $b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}$
[/mm]
Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine Orthogonalbasis.
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> Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> Formel:
> [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
>
Okay das wäre dan ja
[mm] b_0:=a_0=1
[/mm]
[mm] b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5
[/mm]
[mm] b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5
[/mm]
> Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> Orthogonalbasis.
Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren oder so?...stimmen die rechnungen denn soweit?
LG Schmetterfee
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> > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > Formel:
> > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> >
> Okay das wäre dan ja
> [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
>
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
>
>
> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
>
> > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > Orthogonalbasis.
> Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
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> > > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > > Formel:
> > > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> > >
> > Okay das wäre dan ja
> > [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
> >
> >
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
>
> >
> >
> >
> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> > - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
>
> >
> > > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > > Orthogonalbasis.
> > Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> > Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
> Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht
> verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
>
und wie mache ich das?
ich habe gefunden das b normalisiert wird durch [mm] \bruch{b_{0}}{||b_{0}||} [/mm] aber das verstehe ich nicht ganz....wäre das denn [mm] \bruch{1}{<1,1>} [/mm] =1? ich versteh das nicht ganz...kannst du mir das an einem beispiel bitte zeigen?
LG Schmetterfee
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> > > > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > > > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > > > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > > > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > > > Formel:
> > > > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > > > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> > > >
> > > Okay das wäre dan ja
> > > [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
>
> >
> > >
> > > > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > > > Orthogonalbasis.
> > > Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> > > Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
> > Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht
> > verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
> >
> und wie mache ich das?
> ich habe gefunden das b normalisiert wird durch
> [mm]\bruch{b_{0}}{||b_{0}||}[/mm] aber das verstehe ich nicht
> ganz....wäre das denn [mm]\bruch{1}{<1,1>}[/mm] =1? ich versteh das
> nicht ganz...kannst du mir das an einem beispiel bitte
> zeigen?
Hallo,
man normiert wie immer, wenn man normiert.
Mal angenommen, ich will v:=x-4 normieren.
Es ist dann der normierte Vektor [mm] v_0=\bruch{v}{\parallel v\parallel}=\bruch{v}{\wurzel{}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^1(x-4)^2dx}}= [/mm] .... (jetzt ausrechnen).
Gruß v. Angela
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> > > > > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > > > > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > > > > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > > > > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > > > > Formel:
> > > > > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > > > > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> > > > >
> > > > Okay das wäre dan ja
> > > > [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
>
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> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> > > > - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
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> > > >
> > > > > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > > > > Orthogonalbasis.
> > > > Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> > > > Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
> > > Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht
> > > verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
> > >
> > und wie mache ich das?
> > ich habe gefunden das b normalisiert wird durch
> > [mm]\bruch{b_{0}}{||b_{0}||}[/mm] aber das verstehe ich nicht
> > ganz....wäre das denn [mm]\bruch{1}{<1,1>}[/mm] =1? ich versteh das
> > nicht ganz...kannst du mir das an einem beispiel bitte
> > zeigen?
>
> Hallo,
>
> man normiert wie immer, wenn man normiert.
>
> Mal angenommen, ich will v:=x-4 normieren.
>
> Es ist dann der normierte Vektor [mm]
[mm] v_0=\bruch{v}{\parallel v\parallel}
[/mm]
[mm] =\bruch{v}{\wurzel{}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^4(x-4)^2dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^4 x^{2}-8x+16 dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{-\bruch{64}{3}}}
[/mm]
Das würde ja für meine Basis ergebn:
[mm] c_{0}=\bruch{b_{0}}{\wurzel{}}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
[mm] c_{1}=\bruch{b_{1}}{\wurzel{}}=\bruch{x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x-0,5)^2dx}}=\bruch{x-0,5}{\bruch{1}{12}}=12(x-0,5)=12x-6
[/mm]
[mm] c_{2}=\bruch{b_{2}}{\wurzel{}}=\bruch{x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5)^2dx}}=\bruch{x^{2} - \bruch{2}{3}-0,5}{\wurzel{\bruch{143}{540}}}={\wurzel{\bruch{540}{143}}}* (x^{2}- \bruch{2}{3}-0,5)
[/mm]
Ist das denn so richtig?..ich habe das schon öfter anchgerechnet komm aber bei [mm] c_{2} [/mm] immer auf das selbe..und nun bilden doch [mm] c_{0},c_{1},c_{2} [/mm] die Orthonormalbasis oder?
LG Schmetterfee
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> > > > > > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > > > > > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > > > > > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > > > > > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > > > > > Formel:
> > > > > > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > > > > > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> > > > > >
> > > > > Okay das wäre dan ja
> > > > > [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
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> >
> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> > > > > - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
>
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> > > > >
> > > > > > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > > > > > Orthogonalbasis.
> > > > > Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> > > > > Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
> > > > Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht
> > > > verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
> > > >
> > > und wie mache ich das?
> > > ich habe gefunden das b normalisiert wird durch
> > > [mm]\bruch{b_{0}}{||b_{0}||}[/mm] aber das verstehe ich nicht
> > > ganz....wäre das denn [mm]\bruch{1}{<1,1>}[/mm] =1? ich versteh das
> > > nicht ganz...kannst du mir das an einem beispiel bitte
> > > zeigen?
> >
> > Hallo,
> >
> > man normiert wie immer, wenn man normiert.
> >
> > Mal angenommen, ich will v:=x-4 normieren.
> >
> > Es ist dann der normierte Vektor [mm]
[mm]v_0=\bruch{v}{\parallel v\parallel}[/mm]
[mm]=\bruch{v}{\wurzel{}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^{\red{4}}(x-4)^2dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^4 x^{2}-8x+16 dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\green{-\bruch{64}{3}}}}[/mm]
Hallo,
daß die rotmarkierte 4 und ihre Kollegen ein Druckfehler waren, hast Du hoffentlich gemerkt.
Mich wundert etwas, daß Du nicht stutzig geworden bist, als Du plötzlich die Wurzel aus einer negativen Zahl als Norm dastehen hattest... (Das Grüne.)
> Das würde ja für meine Basis ergebn:
> [mm]c_{0}=\bruch{b_{0}}{\wurzel{}}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
> [mm]c_{1}=\bruch{b_{1}}{\wurzel{}}=\bruch{x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x-0,5)^2dx}}=\bruch{x-0,5}{\bruch{1}{12}}=12(x-0,5)=12x-6[/mm]
Die beiden sind jedenfalls richtig - [mm] c_2 [/mm] hab' ich keine Lust nachzurechnen, die Zwischenschritte sind mir zu wenig mundgerecht.
Wenn Du's DeinenTR hast rechnen lassen, dann wird's schon stimmen.
Allerdings sehe ich gerade: es steckt schon vorher ein Fehler in Deiner Rechnung, denn [mm] x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5 [/mm] ist ja gar nicht orthogonal zu 1.
Den letzten Vektor Deiner Orthogonalbasis mußt Du wohl nochmal berechnen...
(Nicht so schlimm... Hauptsache, das prinzip ist erstmal klargeworden.)
Gruß v. Angela
> [mm]c_{2}=\bruch{b_{2}}{\wurzel{}}=\bruch{x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5)^2dx}}=\bruch{x^{2} - \bruch{2}{3}-0,5}{\wurzel{\bruch{143}{540}}}={\wurzel{\bruch{540}{143}}}* (x^{2}- \bruch{2}{3}-0,5)[/mm]
> Ist das denn so richtig?..ich habe das schon öfter anchgerechnet komm aber bei [mm]c_{2}[/mm] immer auf das selbe..und nun bilden doch [mm]c_{0},c_{1},c_{2}[/mm] die
> Orthonormalbasis oder?
> LG Schmetterfee
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> > > > > > > Also noch einmal von vorne... Deine Basis ist
> > > > > > > [mm]a_0=1,a_1=x,a_2=x^2[/mm]. Dein Skalarprodukt ist wie folgt
> > > > > > > definiert: [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} [/mm]. Jetzt
> > > > > > > orthogonalisierst du deine Basisvektoren mit folgender
> > > > > > > Formel:
> > > > > > > [mm]b_k=a_k-\sum_{i=0}^{k-1} {\frac{}{}b_i}[/mm]
> > > > > > > (Da war ein Fehler in meinem vorherigen Beitrag)
> > > > > > >
> > > > > > Okay das wäre dan ja
> > > > > > [mm]b_0:=a_0=1[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]b_1:=a_1-{\frac{}{}b_0}=x-\bruch{}{<1,1>}=x- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x- \bruch{0,5}{1}*1=x-0,5[/mm]
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> >
> [mm]b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}[/mm]
> > > > > > - [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
>
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> > > > > > > Wenn du diese ausgerechnet hast, dann hast du eine
> > > > > > > Orthogonalbasis.
> > > > > > Undi diese 3 Polynome zusammen bilden dann eine
> > > > > > Orthonomalbasis?..da muss ich jetzt nichts mehr normieren
> > > > > Du hast eine Orthogonalbasis, falls du dich nicht
> > > > > verrechnet hast. Also musst du noch normieren.
> > > > >
> > > > und wie mache ich das?
> > > > ich habe gefunden das b normalisiert wird durch
> > > > [mm]\bruch{b_{0}}{||b_{0}||}[/mm] aber das verstehe ich nicht
> > > > ganz....wäre das denn [mm]\bruch{1}{<1,1>}[/mm] =1? ich versteh das
> > > > nicht ganz...kannst du mir das an einem beispiel bitte
> > > > zeigen?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > man normiert wie immer, wenn man normiert.
> > >
> > > Mal angenommen, ich will v:=x-4 normieren.
> > >
> > > Es ist dann der normierte Vektor [mm]
[mm]v_0=\bruch{v}{\parallel v\parallel}[/mm]
[mm]=\bruch{v}{\wurzel{}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^{\red{4}}(x-4)^2dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\integral_0^4 x^{2}-8x+16 dx}}=\bruch{x-4}{\wurzel{\green{-\bruch{64}{3}}}}[/mm]
Hallo,
daß die rotmarkierte 4 und ihre Kollegen ein Druckfehler waren, hast Du hoffentlich gemerkt.
Mich wundert etwas, daß Du nicht stutzig geworden bist, als Du plötzlich die Wurzel aus einer negativen Zahl als Norm dastehen hattest... (Das Grüne.)
> Das würde ja für meine Basis ergebn:
> [mm]c_{0}=\bruch{b_{0}}{\wurzel{}}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
> [mm]c_{1}=\bruch{b_{1}}{\wurzel{}}=\bruch{x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x-0,5)^2dx}}=\bruch{x-0,5}{\bruch{1}{12}}=12(x-0,5)=12x-6[/mm]
Die beiden sind jedenfalls richtig - [mm]c_2[/mm] hab' ich keine Lust nachzurechnen, die Zwischenschritte sind mir zu wenig mundgerecht.
Wenn Du's DeinenTR hast rechnen lassen, dann wird's schon stimmen.
Allerdings sehe ich gerade: es steckt schon vorher ein Fehler in Deiner Rechnung, denn [mm]x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5[/mm] ist ja gar nicht orthogonal zu 1.
Den letzten Vektor Deiner Orthogonalbasis mußt Du wohl nochmal berechnen...
(Nicht so schlimm... Hauptsache, das prinzip ist erstmal klargeworden.)
Ja das Prinzip ist klar aber ich weiß nicht wo der Fehler bei [mm] b_{2} [/mm] liegen soll denn:
[mm] b_2:=a_2-{\frac{}{}b_1}-{\frac{}{}b_0}=x^{2}
[/mm]
- [mm]\bruch{}{}-\bruch{}{<1,1>}= x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=
x^{2}- \bruch{ \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{3}x^{3}*\bruch{1}{2}x^{2} dx}}{\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}x^{2}*\bruch{1}{2}x^{2} dx}}*x-\bruch{ \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}x^{2}*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1=x^{2}- \bruch{ \bruch{1}{3}*\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}* \bruch{1}{2}}*x-\bruch{1}{2}}=x^{2}- \bruch{2}{3}*x-0,5[/mm]
aber wo liegt denn da mein Fehler?..find den bei besten willen net...
LG Schmetterfee
> [mm]c_{2}=\bruch{b_{2}}{\wurzel{}}=\bruch{x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5}{\wurzel{\integral_0^1(x^{2}- \bruch{2}{3}x-0,5)^2dx}}=\bruch{x^{2} - \bruch{2}{3}-0,5}{\wurzel{\bruch{143}{540}}}={\wurzel{\bruch{540}{143}}}* (x^{2}- \bruch{2}{3}-0,5)[/mm]
> Ist das denn so richtig?..ich habe das schon öfter anchgerechnet komm aber bei [mm]c_{2}[/mm] immer auf das selbe..und nun bilden doch [mm]c_{0},c_{1},c_{2}[/mm] die
> Orthonormalbasis oder?
> LG Schmetterfee
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> Ja das Prinzip ist klar aber ich weiß nicht wo der Fehler bei [mm]b_{2}[/mm] liegen soll denn:
Hallo,
Du integrierst wie 'ne Waldaxt.
Nehmen wir z.B. mal [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}\cdot{}x dx}.
[/mm]
Was ist denn eigentlich [mm] x^2*x? [/mm] Und wie integriert man das?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:44 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
>
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> > Ja das Prinzip ist klar aber ich weiß nicht wo der Fehler
> bei [mm]b_{2}[/mm] liegen soll denn:
>
>
> Hallo,
>
> Du integrierst wie 'ne Waldaxt.
>
> Nehmen wir z.B. mal [mm]\integral_{0}^{1}{x^{2}\cdot{}x dx}.[/mm]
>
> Was ist denn eigentlich [mm]x^2*x?[/mm] Und wie integriert man das?
>
naja das is ja [mm] x^{3} [/mm] dx und integriert wäre dass denn doch [mm] \bruch{1}{4} x^{4} [/mm] oder nicht?
ich habe [mm] b_{2} [/mm] nun erneut ausgerechnet und bin auf [mm] x^{2}-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{2} [/mm] gekommen..
habe den Vektor dann normiert und bin dann auf [mm] \wurzel{\bruch{240}{73}} [/mm] * [mm] (x^{2}- \bruch{3}{4}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gekommen..is das denn so korrekt?
LG Schmetterfee
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> > > Ja das Prinzip ist klar aber ich weiß nicht wo der Fehler
> > bei [mm]b_{2}[/mm] liegen soll denn:
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > Du integrierst wie 'ne Waldaxt.
> >
> > Nehmen wir z.B. mal [mm]\integral_{0}^{1}{x^{2}\cdot{}x dx}.[/mm]
>
> >
> > Was ist denn eigentlich [mm]x^2*x?[/mm] Und wie integriert man das?
> >
> naja das is ja [mm]x^{3}[/mm] dx und integriert wäre dass denn doch
> [mm]\bruch{1}{4} x^{4}[/mm] oder nicht?
>
> ich habe [mm]b_{2}[/mm] nun erneut ausgerechnet und bin auf
> [mm]x^{2}-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{2}[/mm] gekommen..
Hallo,
ob das richtig ist, kannst Du selbst kontrollieren: rechne nach, ob das Skalarprodukt mit den beiden anderen Vektoren 0 ergibt.
>
> habe den Vektor dann normiert und bin dann auf
> [mm]\wurzel{\bruch{240}{73}}[/mm] * [mm](x^{2}- \bruch{3}{4}x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gekommen..is das denn so korrekt?
Ich kann das nicht auf einen Blick sehen.
Bereite sowas bitte mundgerechter zu, wenn Du es nachgeschaut haben möchtest.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hier hilft Analysis weiter.
> > Sei f eine stetige Funktion auf [a,b] und [mm]f(t)\neq 0[/mm]
> für
> > ein [mm]t\in[a,b][/mm], so gilt [mm]\int_{a}^{b}{(f(t))^2 dt}>0[/mm]
>
> Tut mir leid ich habe noch kein Analysis weil ich auf
> Lehramt studiere unser Prof meinte aber das man bekanntes
> wissen aus Analysis verwenden kann.
der obige Satz aus der Analysis von wieschoo ist zwar wirklich das, was
man normalerweise (und auch bei allgemeiner ähnlich definierten
Funktionenräumen) verwenden würde, aber wenn das nicht bekannt ist,
dann kommt man auch anders zum Ziel, denn der HDI ist auch schon in
der Schule bekannt:
Sei durch [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] eine Funktion $f [mm] \in [/mm] V$ gegeben.
Klar ist, dass
[mm] $$=\int_0^1 f^2(x)dx \ge 0\,.$$
[/mm]
Somit ist [mm] $<.,.>\,$ [/mm] sicher positiv semidefinit. Wir haben nun noch zu
zeigen, dass aus [mm] $=0\,$ [/mm] schon $f=0$ folgt.
Für [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] ist
[mm] $$f^2(x)=f(x)*f(x)=(ax^2+bx+c)^2=a^2x^4+2ax^2bx+b^2x^2+2(ax^2+bx)c+c^2$$
[/mm]
[mm] $$=a^2x^4+2abx^3+b^2x^2+2acx^2+2bcx+c^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw f^2(x)=a^2x^4+2abx^3+(b^2+2ac)x^2+2bcx+c^2\,.$$
[/mm]
Somit ist durch [mm] $G(x)=\frac{a^2}{5}x^5+\frac{ab}{2}x^4+\frac{b^2+2ac}{3}x^3+bcx^2+c^2x$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f^2$ [/mm] gegeben,
so dass wir aus [mm] $\;=0$ [/mm] nun
[mm] $$\frac{a^2}{5}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2+2ac}{3}+bc+c^2=0$$
[/mm]
und damit
[mm] $$6a^2+15ab+10b^2+20ac+30bc+30c^2=0$$
[/mm]
erhalten.
Jetzt wäre noch zu begründen, dass diese Gleichheit nur für [mm] $a=b=c=0\;$ [/mm] möglich ist,
was aber anscheinend nicht ganz trivial ist.
----------
P.S.:
Beachte:
[mm] $$<.,.>\text{ ist positiv definit}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] <f,f> [mm] \;\;> [/mm] 0 [mm] \text{ für alle } [/mm] f [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus\{0\}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] <f,f> [mm] \;\;\ge [/mm] 0 [mm] \text{ für alle } [/mm] f [mm] \in [/mm] V [mm] \text{ und } [/mm] <f,f>=0 [mm] \text{ nur für } [/mm] f=0$$
[mm] $$\gdw [/mm] <f,f> [mm] \;\;\ge [/mm] 0 [mm] \text{ für alle } [/mm] f [mm] \in [/mm] V [mm] \text{ und } [/mm] <f,f>=0 [mm] \Rightarrow f=0\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ergänzend habe ich mir Gedanken gemacht, wie man alternativ (mit Schulmethoden)
begründen kann, dass [mm] $\; [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] f=0$ gilt:
Es gilt offenbar, dass [mm] $f^2$ [/mm] wegen [mm] $f\in [/mm] V$ ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 4$
ist. Daher existiert sicherlich eine Stammfunktion $G(x)$ zu [mm] $f^2(x)\,.$ [/mm] Da
Stammfunktionen bis auf additive Konstanten eindeutig sind, können wir
eine solche Stammfunktion eindeutig durch die Forderung $G(0)=0$
bestimmen, und dann gilt
[mm] $$\int_0^1f^2(x)dx=G(1)-G(0)=G(1)-0=G(1)\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $G'(x)=f^2(x) \ge [/mm] 0$ auf $[0,1]$ ist aber [mm] $G\,$ [/mm] somit auf $[0,1]$
monoton wachsend.
[Es gilt auch, dass [mm] $G\,$ [/mm] stetig ist (begründen kann man dies,
weil [mm] $G\,$ [/mm] ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 5$ ist, oder aber, weil [mm] $G\,$ [/mm] ja
differenzierbar ist und damit insbesondere stetig,
aber wir benötigen dies im weiteren nicht!]
Aus [mm] $\;=0$ [/mm] folgt nun $G(1)=0,$ und daher wegen
$$G(0)=0 [mm] \le [/mm] G(x) [mm] \le [/mm] G(1) [mm] \text{ für
alle } [/mm] x [mm] \in [0,1]\;$$ [/mm]
dass [mm] $G\,$ [/mm] auf $[0,1]$ konstant $=0$ ist. Dann
ist aber auch [mm] $G'\,$ [/mm] dort konstant [mm] $=0\,,$ [/mm] also [mm] $f^2(x)=0$ [/mm] auf $[0,1]$
und damit auch $f(x)=0$ auf $[0,1]$, d.h. [mm] $a=b=c=0\;$ [/mm] bzw. [mm] $f=0\,.$
[/mm]
Ein wenig wichtig hierbei ist, dass gilt:
Ist [mm] $P\,$ [/mm] ein Polynom, dass stückweise konstant ist (d.h. es existiert ein
Intervall $I [mm] \subseteq \IR$, [/mm] $|I| > 1$ mit [mm] $P(x)=c\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] I$), so
ist auch schon [mm] $P\,$ [/mm] konstant (genauer [mm] $P(x)=c\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Diese Aussage kann man allgemein beweisen, Du würdest sie allerdings
nur für Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 5$ benötigen. Setzt man den
Fundamentalsatz der Algebra als bekannt voraus, so begründet sich obige
Aussage auch allgemein sehr schnell.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 18.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei V der [mm]\IR[/mm] - Vektorraum aller Funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> der Form [mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm] für a,b,c [mm]\in \IR.[/mm]
> (Polynomfunktionrn vom Grad höchstens 2.) Man zeige, dass
> durch
> [mm]:=\integral_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm]
> ein positiv
> definites Skalarprodukt auf V definiert ist und bestimme
> dazu eine Orthonormalbasis von V.
> Hallo ich habe mit dieser Aufgabe ganz schöne Probleme
> weil ich gar nicht weiß wo ich anfangen soll...
>
> ich muss ja posit definit zeigen, denn das es sich um eine
> Bilinearform handelt und das sie symmetrisch ist und dann
> muss ich noch die Orthonormalbasis bestimmen oder?
>
> Bei mir gehen die Probleme jedoch schon am Anfang los wie
> prüfe ich das das Integral positiv definit ist?
>
> Kann mir bitte jemand weiter helfen.
Die anderen haben ja schon alles zur Lösung gesagthaben, was notwendig ist. Hier nur eine Analogie zum "normalen", was man aus der Schule kennt:
Ein Vektor [mm]\vec v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}[/mm] des [mm]V:=\IR^3[/mm] hat drei Komponenten (die [mm]x[/mm]-, [mm]y[/mm]- und [mm]z[/mm]-Komponente, wenn Du so willst). Die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einer Zahl ist Komponentenweise definiert: [mm]\vec v +a\vec w:=\vektor{v_1+aw_1\\v_2+aw_2\\v_3+aw_3}[/mm]. Der Nullvektor [mm]\vec0\in V[/mm] ist der, der [mm]\vec v+\vec{0}=\vec v[/mm] erfüllt. Er darf also an allen drei Komponenten nichts ändern. So mit kann das nur [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] sein. Die Norm [mm]||\vec v||[/mm] (oder auch Länge) des Vektors ist durch [mm]||\vec v||:=\wurzel{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/mm] definiert. Das Skalarprodukt [mm]<\vec v,\vec w>[/mm] ist durch [mm]<\vec v,\vec w>:=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3[/mm] definiert. Es ist natürlich bilinear, symmetrisch und positiv definit,
[mm]<\vec v,\vec w>=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3=w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=<\vec w,\vec v>[/mm]
[mm]<\vec u+a\vec v,\vec w>=(u_1+av_1)w_1+(u_2+av_2)w_2+(u_3+av_3)w_3=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3+a(v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3)=<\vec u,\vec w>+a<\vec v,\vec w>[/mm],
was direkt aus den Eigenschaften rellen Zahlen folgt, und es gilt [mm]||\vec v||^2=\wurzel{<\vec v,\vec v>}[/mm].
Für eine Basis [mm]B:=\{\vec u,\vec v,\vec w\}\subset V[/mm] gilt, dass [mm]a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0[/mm] nur für [mm]a=b=c=0[/mm] erfüllt werden kann. Jeder andere Vektor [mm]\vec r=\vektor{r_1\\r_2\\r_3[/mm] kann mit der Basis und drei geeigneten Zahlen (Koeffizienten) [mm]a_1,a_2,a_3[/mm]auch so geschrieben werden: [mm]\vec r=a_1\vec u+a_2\vec v+a_3\vec w[/mm], wobei immer noch in den Vektoren, die Komponenten von 1 bis 3 laufen. Die Standardbasis ist [mm]\vec e_1:=\vektor{1\\0\\0}, \vec e_2:=\vektor{0\\1\\0}, \vec e_3:=\vektor{0\\0\\1}[/mm]. Diese ist schon orthonormiert.
Wenn Du möchtest, dass ein vorgelegter Vektor [mm]\vec v[/mm] auf die Länge eins normiert wird, schreibst Du einfach [mm]\frac{1}{||\vec v||}\vec v[/mm] oder auch [mm]\frac{1}{\wurzel{<\vec v,\vec v>}}\vec v[/mm]. Zwei Vektoren [mm]\vec v, \vec w[/mm] sind orthogonal (oder senkrecht) zueinander [mm]:\gdw<\vec v,\vec w>=0[/mm] (, motiviert durch die Beziehung [mm]<\vec v, \vec w>=||\vec v||*||\vec w||\cos(\angle{(\vec v;\vec w}))[/mm]). Wenn zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren [mm]\vec v, \vec w[/mm] vorgelegt sind, man den ersten normieren: [mm]\vec v^0:=\frac{1}{\wurzel{<\vec v,\vec v>}}\vec v[/mm]. Vom zweiten kann man einen Teil [mm]\vec w^{\perp}[/mm] abspalten, der senkrecht zu [mm]\vec v^0[/mm] steht: [mm]\vec w^{\perp}=\vec w-<\vec w, \vec v^0>\vec v^0[/mm]. Man zieht also den in Richtung von [mm]\vec v^0[/mm] laufenden Teil ab. Dann kann man wieder normieren und gelangt so zu [mm]\vec w^0[/mm]. Wenn nun ein dritter Vektor vorgelegt wird, kann man das wiederholen, indem man den Teil abzieht, der in Richtung des ersten und des zweiten läuft und normiert hinterher wieder. Das Ergebnis sind drei aufeinander senkrecht stehende Vektoren der Länge eins.
Im [mm] \IR^3 [/mm] ist an dieser Stelle Schluß, da eine Basis nur 3 Vektoren enthält, bzw. es nur drei Vektoren geben kann, die paarweise senkrecht aufeinanderstehen können. Aber man kann das ganze genauso in [mm] \IR^n [/mm] mit entsprechende mehr Komponenten und Schritten machen. Und wenn Du nun einen Untervektorraum [mm]UV[/mm] des [mm]V:=\IR^n[/mm] betrachtest, z.B. alle Vektoren, die nur in den ersten drei Komponenten, was von null verschiedenes stehen haben dürfen, sähe das so aus:
[mm]UV=\{\vec v\in V:\vec v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\0\\\vdots\\0}\}[/mm] oder wenn man es mit den [mm]\vec e_i[/mm] schreibt:
[mm]UV=\{\vec v\in V:\vec v=a_1\vec e_1+a_2\vec e_2+a_3\vec e_3\}[/mm].
An dieser Stelle ist eine Unterscheidung zwischen den Koeffizienten bezüglich einer Basisdarstellung und den Komponenten an sich wichtig. Ein Vektor aus obigem Untervektorraum hat nur drei Koeefizienten bezüglich einer Basis in diesem UV, aber alle Vektoren haben immer noch n Komponenten, da sie ja schließlich alle aus dem [mm] \IR^n [/mm] sind.
Nun der Brückenschlag zu Deiner Aufgabe: Schreib mal die Komponenten [mm]v_1,v_2,v_3, ..., v_n[/mm] von [mm]\vec v[/mm] so:
[mm]f_{\vec v}:N:=\{1,2,3,...,n\}\to \IR; t\in N\mapsto f_{\vec v}(t); f_{\vec v}(1)=v_1; f_{\vec v}(2)=v_2; f_{\vec v}(3)=v_3,...,f_{\vec v}(n)=v_n[/mm].
Du faßt also einen Vektor [mm] {\vec v} [/mm] als Funktion [mm] f_{\vec v} [/mm] mit dem Definitionsbereich [mm]N=\{1,2,3,...,n\}[/mm] in die rellen Zahlen auf. Die Summe [mm]f+g[/mm] zweier Funktionen ist punktweise definiert [mm](f+g)(t)=f(t)+g(t)[/mm] (für alle [mm]t\in N[/mm]). Das ist aber nicht anderes als die komponentenweise Addition. Die Nullfuntion ist der Nullvektor, da ja an allen Stellen (Komponenten) null herauskommen muss. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren sieht dann so aus (wenn man [mm]t[/mm] die Werte [mm]1,2,...,n[/mm] annehmen läßt): [mm]\summe_{1}^nf(t)g(t)[/mm]. Entsprechendes gilt auch für die Norm.
Wenn man nun die Anzahl der Komponenten der Vektoren überabzählbar unendlich werden läßt, indem man Sie nicht mit [mm]1,2,3,...,n[/mm] durchnummeriert, sondern mit allen reellen Zahlen aus [mm][0,1][/mm], bist Du bei Deinem Beispiel. Aus der Summe wird dann ein Integral für Dein Beispiel:
[mm]\integral_0^1f(t)g(t)dt[/mm].
Es ist also nichts ungewöhnliches. Vieles läuft genauso wie im gewohnten [mm]\IR^n[/mm]. Das sieht man schon daran, das viele Beweise allgemeine algebraischen Eigenschaften benutzen, unabhängig von der speziellen konkreten Ausgestaltung. Vorsicht allerdings geboten, wenn es z.B. um dimensionsrelevante oder topologische Aussagen geht. Im [mm] \IR^n [/mm] können maximal n verschiedene Vektoren zeitgleich paarweise senkrecht aufeinander stehen. In einem Funktionsraum können das unendlich viele sein.
Und [mm]\integral_{0}^1f(t)g(t)dt[/mm] kann man nur dann konkret ausrechenen, wenn man für die Funktionen konkrete Funktionen einsetzt. Das gilt aber im [mm]\IR^n[/mm] auch. Du musst ja die Komponenten der Vektoren wissen, um was ausrechenen zu können.
Deine Vektoren haben die Gestalt [mm]\vec v=f(t)=f_0+f_1t+f_2t^2[/mm] auf [mm]t\in[0,1][/mm]. Die "Komponenten" laufen also von [mm]0[/mm] bis [mm]1[/mm]. Ein konkreter Vektor braucht konkreter Werte für die Koeffizienten [mm]f_i[/mm]. Aber immerhin kann man [mm]=\integral_{0}^1f_1(t)f_2(t)[/mm] für [mm]f_1(t)=f_0+f_1t+f_2t^2[/mm] und [mm]g(t)=g_0+g_1t+g_2t^2[/mm] allgemein ausrechnen. Insgesamt muss man nullte bis vierte Potenzen von [mm]t[/mm] von [mm]0[/mm] bis [mm]1[/mm] integrieren wobei jeweils [mm]1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}[/mm] und [mm]\frac{1}{5}[/mm] multipliziert mit den entsprechenden Koeffizientenproduktensummen herauskommt:
[mm]=g_0f_0+\frac{1}{2}*(g_0f_1+g_1f_0)+\frac{1}{3}*(g_0f_2+g_1f_1+g_2f_0)+\frac{1}{4}*(g_1f_2+g_2f_1)+\frac{1}{5}*g_2f_2[/mm]
Mit [mm]g=f[/mm] ergibt sich
[mm]||f||^2==f_0^2+f_0f_1+\frac{1}{3}*(2f_0f_2+f_1^2)+\frac{1}{2}*f_1f_2+\frac{1}{5}*f_2^2[/mm]
sowie mit jeweils [mm]g=1,t[/mm] und [mm]t^2[/mm] eingesetzt
[mm]=f_0+\frac{1}{2}*f_1+\frac{1}{3}*f_2[/mm]
[mm]=\frac{1}{2}*f_0+\frac{1}{3}*f_1+\frac{1}{4}*f_2[/mm]
[mm]=\frac{1}{3}*f_0+\frac{1}{4}*f_1+\frac{1}{5}*f_2[/mm]
LG
gfm
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