orthonormiertes System < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Fr 11.01.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | Geben Sie ein orthonormiertes System mit Hilfe der Lösungsvektoren für das Gleichungssystem an
[mm] $-3x_1-x_2-x_3+2x_4+4x_5=0$
[/mm]
[mm] $x_1-x_2+x_3+2x_5=0$
[/mm]
[mm] $2x_1+x_3-x_4-x_5=0$ [/mm] |
Über Umformungen komme ich zu der matrix
[mm] $\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }$
[/mm]
Wie kriegt man hier die Lösungsvektoren heraus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> Geben Sie ein orthonormiertes System mit Hilfe der
> Lösungsvektoren für das Gleichungssystem an
>
> [mm]-3x_1-x_2-x_3+2x_4+4x_5=0[/mm]
> [mm]x_1-x_2+x_3+2x_5=0[/mm]
> [mm]2x_1+x_3-x_4-x_5=0[/mm]
> Über Umformungen komme ich zu der matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }[/mm]
ich hab' keine Lust, das nachzurechnen. Magst Du uns das mal vorrechnen?
Meinst Du damit, dass das gegebene Gleichungssystem äquivalent ist zu
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}\text{ ?}$$
[/mm]
Ich frage deswegen, weil Du die rechte Seite nicht in die Matrix eingebaut
hast, was hier aber auch nicht wichtig ist, da dort eh nur der Nullvektor steht
(homogenes lineares Gleichungssystem).
> Wie kriegt man hier die Lösungsvektoren heraus?
Na, Du willst die Menge aller $x [mm] \in \IR^5\cong \IR^{5 \times 1}$ [/mm] (d.h. alle Vektoren
des [mm] $\IR^5$ [/mm] werden als Spaltenvektoren aufgefasst) angeben, die [mm] $(\*)$ [/mm]
erfüllen.
Aus [mm] $(\*)$ [/mm] erkennst Du: Ist [mm] $x=(x_1,...,x_5)^T \in \IR^5$ [/mm] solch ein Spaltenvektor,
so folgt [mm] $x_2=0\,.$ [/mm] Wähle etwa [mm] $x_4=s\,$ [/mm] und [mm] $x_5=t$ [/mm] jeweils [mm] $\in \IR$ [/mm]
beliebig, so weißt Du, dass ein [mm] $x\,$ [/mm] wie gewünscht genau dann [mm] $(\*)$ [/mm] löst,
wenn [mm] $x\,$ [/mm] sich schreiben läßt als
[mm] $$x=\vektor{s+3t\\ 0\\-s-5t \\ s\\t}\,,$$
[/mm]
oder anders gesagt: Die Lösungsmenge [mm] $\IL:=\{x \in \IR^5: x\text{ löst }(\*)\}$ [/mm] ist
[mm] $$\IL=\left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}:\;\;s,t \in \IR\right\}\;\;\;\;\Bigg(=\bigcup_{s \in \IR}{ \bigcup_{t \in \IR} \left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}\right\}}\Bigg)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Fr 11.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo Ralph,
>
> > Geben Sie ein orthonormiertes System mit Hilfe der
> > Lösungsvektoren für das Gleichungssystem an
> >
> > [mm]-3x_1-x_2-x_3+2x_4+4x_5=0[/mm]
> > [mm]x_1-x_2+x_3+2x_5=0[/mm]
> > [mm]2x_1+x_3-x_4-x_5=0[/mm]
> > Über Umformungen komme ich zu der matrix
> > [mm]\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }[/mm]
>
> ich hab' keine Lust, das nachzurechnen. Magst Du uns das
> mal vorrechnen?
> Meinst Du damit, dass das gegebene Gleichungssystem
> äquivalent ist zu
> [mm](\*)\;\;\;\;\;\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}\text{ ?}[/mm]
>
Genau das meine ich :)
> Ich frage deswegen, weil Du die rechte Seite nicht in die
> Matrix eingebaut
> hast, was hier aber auch nicht wichtig ist, da dort eh nur
> der Nullvektor steht
> (homogenes lineares Gleichungssystem).
>
> > Wie kriegt man hier die Lösungsvektoren heraus?
>
> Na, Du willst die Menge aller [mm]x \in \IR^5\cong \IR^{5 \times 1}[/mm]
> (d.h. alle Vektoren
> des [mm]\IR^5[/mm] werden als Spaltenvektoren aufgefasst) angeben,
> die [mm](\*)[/mm]
> erfüllen.
>
> Aus [mm](\*)[/mm] erkennst Du: Ist [mm]x=(x_1,...,x_5)^T \in \IR^5[/mm] solch
> ein Spaltenvektor,
> so folgt [mm]x_2=0\,.[/mm] Wähle etwa [mm]x_4=s\,[/mm] und [mm]x_5=t[/mm] jeweils
> [mm]\in \IR[/mm]
> beliebig, so weißt Du, dass ein [mm]x\,[/mm] wie gewünscht genau
> dann [mm](\*)[/mm] löst,
> wenn [mm]x\,[/mm] sich schreiben läßt als
> [mm]x=\vektor{s+3t\\ 0\\-s-5t \\ s\\t}\,,[/mm]
> oder anders gesagt:
> Die Lösungsmenge [mm]\IL:=\{x \in \IR^5: x\text{ löst }(\*)\}[/mm]
> ist
> [mm]\IL=\left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}:\;\;s,t \in \IR\right\}\;\;\;\;\Bigg(=\bigcup_{s \in \IR}{ \bigcup_{t \in \IR} \left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}\right\}}\Bigg)\,.[/mm]
>
Heißt das ich muss aus den Vektoren
[mm] $\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}$
[/mm]
[mm] $\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}$
[/mm]
ein orthonormiertes system machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Fr 11.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Ralph,
> >
> > > Geben Sie ein orthonormiertes System mit Hilfe der
> > > Lösungsvektoren für das Gleichungssystem an
> > >
> > > [mm]-3x_1-x_2-x_3+2x_4+4x_5=0[/mm]
> > > [mm]x_1-x_2+x_3+2x_5=0[/mm]
> > > [mm]2x_1+x_3-x_4-x_5=0[/mm]
> > > Über Umformungen komme ich zu der matrix
> > > [mm]\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }[/mm]
>
> >
> > ich hab' keine Lust, das nachzurechnen. Magst Du uns das
> > mal vorrechnen?
> > Meinst Du damit, dass das gegebene Gleichungssystem
> > äquivalent ist zu
> > [mm](\*)\;\;\;\;\;\pmat{ 1 & 0&0&-1&-3 \\ 0 & 2&0&0&0 \\ 0&0&-1&-1&-5 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}\text{ ?}[/mm]
>
> >
> Genau das meine ich :)
> > Ich frage deswegen, weil Du die rechte Seite nicht in
> die
> > Matrix eingebaut
> > hast, was hier aber auch nicht wichtig ist, da dort eh nur
> > der Nullvektor steht
> > (homogenes lineares Gleichungssystem).
> >
> > > Wie kriegt man hier die Lösungsvektoren heraus?
> >
> > Na, Du willst die Menge aller [mm]x \in \IR^5\cong \IR^{5 \times 1}[/mm]
> > (d.h. alle Vektoren
> > des [mm]\IR^5[/mm] werden als Spaltenvektoren aufgefasst)
> angeben,
> > die [mm](\*)[/mm]
> > erfüllen.
> >
> > Aus [mm](\*)[/mm] erkennst Du: Ist [mm]x=(x_1,...,x_5)^T \in \IR^5[/mm] solch
> > ein Spaltenvektor,
> > so folgt [mm]x_2=0\,.[/mm] Wähle etwa [mm]x_4=s\,[/mm] und [mm]x_5=t[/mm] jeweils
> > [mm]\in \IR[/mm]
> > beliebig, so weißt Du, dass ein [mm]x\,[/mm] wie gewünscht genau
> > dann [mm](\*)[/mm] löst,
> > wenn [mm]x\,[/mm] sich schreiben läßt als
> > [mm]x=\vektor{s+3t\\ 0\\-s-5t \\ s\\t}\,,[/mm]
> > oder anders
> gesagt:
> > Die Lösungsmenge [mm]\IL:=\{x \in \IR^5: x\text{ löst }(\*)\}[/mm]
> > ist
> > [mm]\IL=\left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}:\;\;s,t \in \IR\right\}\;\;\;\;\Bigg(=\bigcup_{s \in \IR}{ \bigcup_{t \in \IR} \left\{s*\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}+t*\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}\right\}}\Bigg)\,.[/mm]
>
> >
> Heißt das ich muss aus den Vektoren
> [mm]\vektor{1\\ 0\\-1 \\ 1\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{3\\ 0\\-5 \\ 0\\1}[/mm]
>
> ein orthonormiertes system machen?
Ja
FRED
>
|
|
|
|
