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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 21.08.2006 | | Autor: | kathrine |
| Aufgabe | | jede Untergruppe einer p-Gruppe ist in ihrem Normalisator echt enthalten |
die Frage schließt an eine Frage an von der Verena nach p-Gruppen. der Vorschlag war, dieses Lemma zu verwenden (was auch gut funktioniert hat). Mir ist nun die Frage, ob es sich nicht auch über eine Induktion z.b. beweisen liese, da doch das Zentrum Z(G) immer nichttrivial ist und demnach immer eine Untergruppe U des Zentrums, |U|= p, existiert. Dann vielleicht über G/U argumentieren (Induktionsann.), aber dann bekommt man halt immer nur Untergruppen von G, die U bereits enthalten.
Oder....???
katrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> jede Untergruppe einer p-Gruppe ist in ihrem Normalisator
> echt enthalten
>
> die Frage schließt an eine Frage an von der Verena nach
> p-Gruppen. der Vorschlag war, dieses Lemma zu verwenden
> (was auch gut funktioniert hat). Mir ist nun die Frage, ob
> es sich nicht auch über eine Induktion z.b. beweisen liese,
> da doch das Zentrum Z(G) immer nichttrivial ist und demnach
> immer eine Untergruppe U des Zentrums, |U|= p, existiert.
Ja, das stimmt. Wenn die Gruppe nicht grade genau ein Element enthaelt :) (Jaja, immer diese Spezialfaelle ;) )
> Dann vielleicht über G/U argumentieren (Induktionsann.),
> aber dann bekommt man halt immer nur Untergruppen von G,
> die U bereits enthalten.
Genau, das ist das Problem. Die Untergruppen muessen wenigstens zwei Elemente des Zentrums (das neutrale und mindestens ein weiteres) enthalten, dann kann man so ein $U$ dazu finden. (Was nicht heissen soll dass es nicht geht, das weiss ich gerade nicht.)
Und du muesstest noch untersuchen, wie die Beziehung zwischen Normalisator von $V/U$ und dem von $V$ ist, wenn $V$ eine beliebige Untergruppe mit $U [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] G$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:09 Di 22.08.2006 | | Autor: | kathrine |
Hallo Felix!
aber wenn doch das Zentrum einer p-Gruppe nichttrivial ist, dann finde ich doch immer ein Elt der Ordnung p im Zentrum (Gauss). Das heißt dann, dass der Spann dieses Elements auch Normalteiler der Gruppe G ist!
aber stimmt: für eine beliebige Gruppe der Ordnung p ist eben nicht gewährleistet, dass sie mit dem Zentrum mehr als das ntr Element teilt.
zu dem Normalisator von U/N: ich denke dass er der Normalisator von U modulo N ist, da doch U/N normal ist in G/N, genau dann wenn (N normal in G) U normal in G. Also ist die maximale Untergruppe, in der U/N normal ist, eine Gruppe der Form U'/N, so dass U in U' liegt, U' normal ist in U und U' die maximale Untergruppe von G ist, in wecher U normal ist, also der Normalisator von U.
aber an dem obigen Problem komm ich nicht weiter. vielleicht muss man auch irgendwie über Normalreihen argumentieren...
trotzdem dir vielen dank!
katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> aber wenn doch das Zentrum einer p-Gruppe nichttrivial ist,
> dann finde ich doch immer ein Elt der Ordnung p im Zentrum
> (Gauss). Das heißt dann, dass der Spann dieses Elements
> auch Normalteiler der Gruppe G ist!
Ja, aber du findest nicht zu jedem Normalteiler $N [mm] \subseteq [/mm] G$ ein Element $n [mm] \in [/mm] N [mm] \setminus \{ e \}$, [/mm] welches im Zentrum liegt!
> aber stimmt: für eine beliebige Gruppe der Ordnung p ist
Du meinst, die Ordnung ist eine Potenz von $p$. Andernfalls ist die Gruppe [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] und alles ist einfach :)
> eben nicht gewährleistet, dass sie mit dem Zentrum mehr als
> das ntr Element teilt.
>
> zu dem Normalisator von U/N: ich denke dass er der
> Normalisator von U modulo N ist, da doch U/N normal ist in
> G/N, genau dann wenn (N normal in G) U normal in G. Also
> ist die maximale Untergruppe, in der U/N normal ist, eine
> Gruppe der Form U'/N, so dass U in U' liegt, U' normal ist
> in U und U' die maximale Untergruppe von G ist, in wecher U
> normal ist, also der Normalisator von U.
Genau.
> aber an dem obigen Problem komm ich nicht weiter.
Du meinst zu zeigen, dass jeder Normalteiler ein nicht-triviales Element aus dem Zentrum enthaelt?
SirJective hat ja geschrieben, dass man dieses Lemma unter der Benutzung der Nilpotenz von p-Gruppen und dem Burnside-Lemma zeigen kann. Du kannst dir das ja mal anschauen, vielleicht kommst du damit weiter...
LG Felix
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