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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | p [mm] \in \IP, |n|_{p} [/mm] = [mm] p^{-ord_{p}n} [/mm] mit [mm] |0|_{p}=0
[/mm]
Zeige: [mm] |a+b|_{p} \le max(|a|_{p},|b|_{p})
[/mm]
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Hi zusammen!
Ich versuche mich an dieser, wie es mir scheint recht einfachen, Aufgabe. Und trotzdem scheitere ich immer wieder..
Also:
Zuerst der Fall a=b=0
Dann ist die Sache trivial.
Falls a,b [mm] \not= [/mm] 0
[mm] |a+b|_{p} [/mm] = [mm] p^{-ord_{p}(a+b)} \le p^{-min(|a|_{p},|b|_{p})} [/mm] wegen einem Satz aus der Vorlesung, der besagt falls a+b [mm] \not= [/mm] 0
[mm] ord_{p}(a+b) \ge min(|a|_{p},|b|_{p})
[/mm]
und nun haben wir es schon, mein problemchen.. Wie komme ich auf das gewünschte Ergebnis?
Ich könnte weiter sagen:
[mm] p^{-min(|a|_{p},|b|_{p})} \le p^{min(|a|_{p},|b|_{p})} \le p^{max(|a|_{p},|b|_{p})} [/mm] = [mm] |-max(|a|_{p},|b|_{p})|_{p}
[/mm]
Nun bin ich mir schon mal mit dem Minus nicht sicher..
und beim letzten Schritt weiss ich auch nicht mehr genau, wie ich weiter gehen soll, zumal ich mich mit dieser p-Norm schwer tue..
Ich wäre sehr froh um einen Hinweis! Vielen Dank..
Mel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] |a+b|_{p} [/mm] = [mm] p^{-ord_{p}(a+b)} \le p^{-min(|a|_{p},|b|_{p})}=p^{(-1)*min(|a|_{p},|b|_{p})}=\left(p^{-1}\right)^{min(|a|_{p},|b|_{p})} =\begin{cases} max(p^{-1}^{|a|_{p}},p^{-1}^{|b|_{p}}), & \mbox{für }p^{-1}\le 1 \\ min(p^{-1}^{|a|_{p}},p^{-1}^{|b|_{p}}), & \mbox{für }p^{-1}>1 \end{cases}
[/mm]
Wobei [mm] p^{-1}=\bruch{1}{p}
[/mm]
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Di 26.02.2008 | | Autor: | Meli90 |
Vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe auch das meiste verstanden (da freu ich mich gleich noch mehr =))
Wo es noch etwas hängt ist bei diesem Punkt hier:
Ich bin ja im oberen Fall, da p [mm] \in \IP,
[/mm]
dann habe ich
[mm] max(p^{-1|a|_{p}},p^{-1|b|_{p}}) [/mm] = [mm] min(|a|_{p},|b|_{p})
[/mm]
oder nicht? Die Brüche sind maximal, wenn der Exponent minimal ist (da dieser ja im Nenner ist). Das wäre ja gerade das Gegenteil von dem was ich zeigen will, deshalb mache ich wohl einen Denkfehler..
Liegt es daran, dass [mm] |n|_{p} [/mm] mit einem negativen Exponenten definiert ist? Stehe da etwas auf der Leitung scheints mir..
Falls mir jemand weiterhelfen kann wäre ich sehr froh, vielen Dank Mel
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Hallo!
Also das ist schon richtig, dass [mm] max(p^{-1|a|_{p}},p^{-1|b|_{p}}) [/mm] = [mm] min(|a|_{p},|b|_{p}). [/mm] Der Fehler ind er ganzen Sache ist schon etwas weiter davor, und zwar must du vorsichtig sein bei der Definition
[mm] |n|_{p}=p^{-ord_{p}n} [/mm] und nicht [mm] p^{-|n|_{p}} [/mm]
Liebe Grüsse Grenzwert
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