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p-Normen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 So 02.09.2007
Autor: Infostudent

hallo,

ich habe hier mal eine Aufgabe inklusive Lösung, die mir etwas schleierhaft ist:

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]


1) Nach dem zweiten kleiner-gleich-Zeichen wird das [mm] x_{i} [/mm] ja durch ein x ersetzt und der Index aus der Summenformel verschwindet. Komischerweise wird dann [mm] \wurzel{n} [/mm] daraus, was ja [mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] entspräche. Aber wo kommt das her?

2) Woher weiß man direkt, dass die 3. Ungleichung gilt (also die nach dem 'und')

Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte :)



Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
p-Normen: Link
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 So 02.09.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo Infostudent,


Schaue dir mal die Materialien-Seite des Numerik-Forums an. Dort findest du die "Weisheiten der Numerik", wo es u.a. einen Beweis rund um diese ganzen Normen-Geschichten gibt.



Viele Grüße
Karl




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p-Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Mo 03.09.2007
Autor: nick_twisp

Hallo,

ich würde sagen, dass

[mm] \summe_{i=1}^{n} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 = n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p. [/mm]

Die zweite Ungleichung gilt, da

n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \leq \frac{1}{n} \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm]

Alles klar?

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p-Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mo 03.09.2007
Autor: Infostudent

Fast, bin jedenfalls schon ein gutes Stück weiter ;)

Nur aus [mm] \wurzel[p]{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}} \le \wurzel[p]{n} \parallel [/mm] x [mm] \parallel _{\infty} [/mm]

folgt doch wenn ich auf beiden Seiten ^p mache

n [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p \ge \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] und das wäre ja genau umgekehrt.


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p-Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 Mo 03.09.2007
Autor: nick_twisp

Du hast völlig recht. Ich war nicht bei klarem Verstand, als ich die Ungleichung

n $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel_\infty^p \leq \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] $

aufgeschrieben habe. Natürlich ist es genau umgekehrt.

Über die zweite Ungleichung muss ich deshalb jetzt auch nochmal nachdenken.

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p-Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 Mo 03.09.2007
Autor: nick_twisp

Autsch,

mir ist ein Licht aufgegangen.

Die zweite Ungleichung gilt offensichtlich, da
in [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_i|^p [/mm] ja [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_\infty^p [/mm] als Summand enthalten ist.

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p-Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mo 03.09.2007
Autor: Infostudent

Achso,

ist das dann wie bei Reihen, wo man ja auch [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] synonym zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] setzt?

Dementsprechend wäre [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{p}_{\infty} [/mm] also das "letzte" Element aus der Summe (was aber ja nie erreicht wird, weil es unendlich ist)

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p-Normen: Autsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Mo 03.09.2007
Autor: subclasser

Hallo!

> ist das dann wie bei Reihen, wo man ja auch [mm]s_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] synonym zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm]
> setzt?

Dein "Synonym" stimmt erst mal nicht. Es ist [mm] $s_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} a_k$ [/mm] die n-te Partialsumme und man setzt [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] := [mm] \lim_{n \to \infty} s_n$. [/mm] Also wird damit sowohl der Grenzwert der Reihe, falls existent, als auch die Reihe selber bezeichnet.

Die Ungleichung gilt einfach, wie oben erwähnt, einfach aus dem Grund, dass die Maximumsnorm einfach die größte Koordinate auswählt. Auf der anderen Seite stehen einfach die potenzierten Beträge aller (!) Koordinaten, da ist der größte aber auf jeden Fall auch dabei. Also addierst du auf dieser Seite einfach noch ein paar positive Zahlen im Vergleich zur linken Seite hinzu.
Ich hoffe, dass jetzt ein Licht aufgeht :-)

Gruß!


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p-Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Di 04.09.2007
Autor: Infostudent

Ja, das meinte ich damit.

Aber wenn ich versuche, das zu erklären, geht es meistens in die Hose :D

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