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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 So 17.01.2010 | | Autor: | Linda89 |
| Aufgabe | | Rechnen mit p-adischen Zahlen: Umrechnen, Existenz etc |
Hallo,
ich habe ein bisschen Probleme mit den p-adischen Zahlen und hab noch niemand (und auch noch keine Webseite oder Buch) gefunden, das mir gut weiterhelfen konnte. Meine Frage ist: Wir rechne ich Zahlen um (von p-adisch in normal und andersrum), wie zeige ich, dass eine Zahl eine p-adische Zahl ist, wie gehe ich im Allgemeinen mit den p-adischen Zahlen um (die letzte Frage ist wohl ziemlich schwerz zu beantworten).
Also zum Beispiel wie schaue ich, ob [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in [mm] \IZ_{5} [/mm] liegt? Oder wie rechne ich das um?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Rechnen mit p-adischen Zahlen: Umrechnen, Existenz etc
>
> ich habe ein bisschen Probleme mit den p-adischen Zahlen
> und hab noch niemand (und auch noch keine Webseite oder
> Buch) gefunden, das mir gut weiterhelfen konnte.
Vielleicht hilft dir ![[]](/images/popup.gif) das hier?
> Meine
> Frage ist: Wir rechne ich Zahlen um (von p-adisch in normal
> und andersrum), wie zeige ich, dass eine Zahl eine
> p-adische Zahl ist, wie gehe ich im Allgemeinen mit den
> p-adischen Zahlen um (die letzte Frage ist wohl ziemlich
> schwerz zu beantworten).
>
> Also zum Beispiel wie schaue ich, ob [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in
> [mm]\IZ_{5}[/mm] liegt? Oder wie rechne ich das um?
Das es drinnen liegt ist sehr einfach: da 2 modulo 5 eine Einheit ist, ist [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ein Element in [mm] $\IZ_5$. [/mm] Diese Aussage kann man u.a. konstruktiv beweisen, mit Hilfe des Henselschen Lemmas:
Erstmal ist 2 nicht durch 5 teilbar, womit 2 in [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] invertierbar ist. Man sieht schnell, dass $2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$ [/mm] ist. Jetzt wendet man Hensels Lemma an, um eine Loesung von $2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5^2}$ [/mm] daraus zu bekommen: das Polynom $f(x) = 2 x - 1$ hat modulo 5 die Nullstelle 3, womit es nach dem Lemma genau eine Nullstelle $x$ modulo [mm] $5^2$ [/mm] gibt welche kongruent zu 3 modulo 5 ist. Allgemeiner: zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es genau ein [mm] $x_n \in \{ 0, \dots, 5^n - 1 \}$ [/mm] mit [mm] $f(x_n) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5^n}$ [/mm] und [mm] $x_n \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{5^n}$.
[/mm]
Mit diesen [mm] $x_n$ [/mm] kannst du [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] in [mm] $\IZ_5$ [/mm] konstruieren: du kannst [mm] $x_n [/mm] = [mm] z_n 5^{n - 1} [/mm] + [mm] x_{n-1}$, [/mm] $n > 0$ (wobei [mm] $x_0 [/mm] = 0$) schreiben mit [mm] $z_n \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$; [/mm] dann ist [mm] $\frac{1}{2} [/mm] = ... [mm] z_5 z_4 z_3 z_2 z_1 [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty z_{n+1} 5^n$ [/mm] (es ist [mm] $z_1 [/mm] = 3$).
Aber nun magst du dich fragen: wieso ist das alles konstruktiv? Weil man das Henselsche Lemma mit Hilfe des Newton-Verfahrens konstruktiv beweisen kann! (Auch wenn das jezt sehr abenteuerlich klingt.)
(Alternativ kannst du [mm] $x_n$ [/mm] auch jeweils mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen, halt so wie man modulo [mm] $5^n$ [/mm] immer Inverse bestimmt.)
Um etwa ein $x$ zu finden mit $2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5^{10}}$, [/mm] setzt man [mm] $x_0 [/mm] := 3$ (erste Annaeherung an das gesuchte $x$, es stimmt naemlich modulo 5) und [mm] $x_n [/mm] := [mm] x_{n-1} [/mm] - 3 (2 [mm] x_{n-1} [/mm] - 1)$ (beachte, dass [mm] $f'(x_{n-1})$ [/mm] durch [mm] $f'(x_0)$ [/mm] ersetzt wurde -- das funktioniert hier!). Dann ist [mm] $x_1 [/mm] = 9765613$, [mm] $x_2 [/mm] = 63$, [mm] $x_3 [/mm] = 9765313$, [mm] $x_4 [/mm] = 1563$, [mm] $x_5 [/mm] = 9757813$, [mm] $x_6 [/mm] = 39063$, [mm] $x_7 [/mm] = 9570313$, [mm] $x_8 [/mm] = 976563$, [mm] $x_9 [/mm] = 4882813 = [mm] x_{10} [/mm] = [mm] x_{11} [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] (jeweils modulo [mm] $5^{10}$, [/mm] berechnet mit Maple).
Wenn man's nachrechnet, sieht man sofort $2 [mm] \cdot [/mm] 4882813 = 9765626 = 1 + [mm] 5^{10}$. [/mm] (Es gilt uebrigens $2 [mm] \cdot x_n \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5^{n + 1}}$.)
[/mm]
Nun ist $4882813 = 3 + 2 [mm] \cdot [/mm] 5 + 2 [mm] \cdot 5^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^3 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^4 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^5 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^6 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^7 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^8 [/mm] + 2 [mm] \cdot 5^9$, [/mm] womit man sieht, dass [mm] $\frac{1}{2} [/mm] = ...2 2 2 2 2 2 2 2 3$ ist in [mm] $\IZ_5$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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