paarweise W' zu globalem Rang < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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I would be grateful if someone is willing to help...Suppose I have 3 contenders A, B and C. I know the results from paired comparisons A v B, A v C and B v C for example:
p(AB)...A beats B 50% of the time,
p(AC)...A beats C 70% of the time,
p(BC)...B beats C 40% of the time,
now, if I let all the three contenders compete simultaneously, is it possible to calculate the probability of the final ranking, for example p(ABC),p(ACB), p(BAC), ...
cheers
Ich habe folgendes Problem auf einer Internetseite gefunden. Erst
dachte ich, ich könne das Problem sehr einfach über logit-Regression
lösen, dieser Ansatz führte zu keinem brauchbaren Ergebnis.
Die Aufgabe ist sehr speziell gestellt. Ich möchte sie gerne für den
allgemeinen Fall wissen. Wie kommt man also von einem paarweisen
Vergleich zu einem globalen Ranking.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Do 21.10.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Wassermann,
man müsste zuerst mal festlegen, wie die Ränge überhaupt bestimmt werden, würde ich sagen. Sowas wie: jeder spielt gegen jeden und ein Sieg gibt einen Punkt? Und die Ränge werden dann nach der Anzahl der Punkte vergeben. (Was macht man bei Punktgleichheit von einem oder mehreren? )
Ansonsten verstehe ich nicht ganz, wie "sie spielen gleichzeitig" zu verstehen ist.
Ne andere Alternative könnte auch sein "ABC" bedeutet:
A gewinnt gegen B und C und gleichzeitig B gegen C. Das wäre dann ein Schnitt aus den Ereignissen AB [mm] \cap [/mm] AC [mm] \cap [/mm] BC würde ich sagen und die W'keit kann dann einfach nach den üblichen Regeln ausgerechnet werden, wenn man Unabhängigkeit vorraussetzen kann. Wäre glaube ich auf mehrere Beteiligte analog übertragbar.
LG Walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Wasserman |
Ersteinmal herzlichen Dank für die Antwort!!
Die Ursprüngliche Aufgabe ist dem Pferdewettsport entnommen, dabei traten die Pferde in früheren Rennen gegeneinander an und man möchte die Siegreihenfolge ermitteln in einem zukünfigten Rennen ermitteln.
Ich hatte schon versucht die Aufgabe so zu lösen, aber falsch!
m<-matrix(c(1,1,0,1,0,1,0,1,1),3,3);
Thus m looks like:
> m
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 1 0
[2,] 1 0 1
[3,] 0 1 1
and furthermore, we transform the results to logits:
logit<-function(p) log(p/(1-p))
and define its inverse:
invlogit<-function(x) 1/(1+exp(-x))
The we do a linear regression:
fit<-lm(res~m[,1:2])
We don't need the last column, we have the intercept.
We look at the summary:
> summary(fit)
Call:
lm(formula = res ~ m[, 1:2])
Residuals:
ALL 3 residuals are 0: no residual degrees of freedom!
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.4418 NA NA NA
m[, 1:2]1 0.4055 NA NA NA
m[, 1:2]2 -0.8473 NA NA NA
Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: NaN
F-statistic: NaN on 2 and 0 DF, p-value: NA
We fitted C to the intercept:
C=invlogit(.4418)
A=invlogit(.4418+.4050)
B=invlogit(.4418-.8473)
We convert them back to probabilities:
> A
[1] 0.6998954
> B
[1] 0.3999916
> C
[1] 0.6086879
Thus A*(1-B)*(1-C) , means A winning B and C not, but
B > C. So
> A*(1-B)*(1-.4*B)
[1] 0.3528
Mich interessiert die Aufgabe für Klassifzierung Support Vector Maschinen. Dabei treten die Klassen eben Paarweise gegeneinander an und ich möchte einen globalen Rang bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Sa 23.10.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
bitte erklär nochmal genau was alles gegeben ist!
Denn wie schon geschrieben wurde kann falls Unabhängigkeit gegeben ist die Wahrscheinlichkeit der Schnitte der Ereignisse bestimmt werden.
Was ist gegeben was wird angenommen und was ist gesucht.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Wasserman |
Also gegen ist, dass alle Gegeneinander spielen. Und aus den Wettquoten wissen wir auch die Wahrscheinlichkeit, wenn A gegen B spielt.
Aber wir wissen z.B. nicht die Wahrscheinlichkeit, dass A erster, B zweiter und C dritter wird, möchten diese aber aus den Paarweisen W' bestimmen. Das ist mit der Wahrscheinlichkeit P(ABC) gemeint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Mo 25.10.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du schreibst dass alle gegeneinander spielen, damit meinst du paarweise?
Also nehm ich mal an nacheinander und nicht gleichzeitig.
Dann muss die Frage der Unabhängigkeit geklärt werden.
Denn wie auch oben schon geschrieben wurde, kann dass Ereigniss ABC dann aus Schnitten dargestellt werden und die zugehörige Wahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit recht leicht ausgerechnet werden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Walde |
Hi wassermann, hi vivo,
da steckt scheinbar mehr dahinter, als ich erkenne. Ich verstehe zB schon nicht, wo diese Matrix herkommt und warum da (wie es zu sein scheint) eine lineare Regression durchgeführt wird. Leider ist die Lösung auch für mich syntaktisch nicht gut nachvollziehbar,da sie anscheinend zu einem Statistikprogramm gehört.
Tut mir leid, da bin ich mit meinen Grundkenntnissen überfragt.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Wasserman |
Hallo Walde,
naja ich habe versucht das über eine logistische Regression zu lösen, denn jeder Wahrscheinlichkeit lässt sich ja in ein logit transformieren, dh. durch log(p/1-p), siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Logit
Nun lässt sich,
A + B = logit(P(AB))
A + C = logit(P(AC))
B + C = logit(P(BC))
als Gleichungssystem aufstellen oder eben als Matrix. Dies geht deshalb, weil die Multiplikation durch den logarithmus in eine Addition überführt wird. Die letzte Spalte der Matrix, die C Spalte habe ich durch den Intercept ersetzt, da ja die Anzahl der Freiheitsgrade immer eins weniger der Anzahl der Variablen ist.
Die Wahrscheinlichkeit für A ergibt sich dann durch die Rücktransformation, oder inversem Logit.
Allerdings mache ich hier irgendwo einen Fehler. Dann das Ergebnis der Regression ist nicht schlüssig. Nur wo?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 01.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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