parallelogramm im rechteck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 25.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | | Ein Rechteck ABCD ist 12 cm lang und 8 cm breit. M sei die Mitte von BC. Dem Rechteck soll ein Parallelogramm so einbeschrieben werden, dass zwei Seiten zu DM parallel sind und der Flächeninhalt des Parallelogramms maximal ist. |
Hab hie rnoch ne aufgabe, nur leider weiß ich hie rnicht genau wie ich sie löse.
Der Flächeninhalt des Parallelogramm ist ja immer A= g*h und die Höhe auf a ist im Prinzip immer die Breite de Rechtecks also müsste gelten
[mm] h_{a}=8
[/mm]
dann müsste man jetzt nur noch a als Grundseite ausdrücken, dies habe ich mit den Strahlensätzen versucht , man kann ja die Strecke DM ausrechnen , nach Pythagoras omm ich auf 12,649 cm
HAb dann den 2 Srahelensatz aufgebaut , also
[mm] \bruch{a}{12,64}=\bruch{ZA}{4}
[/mm]
ZA stellt jetzt die Fläche von , horizontal zwischen den Punkten wo a die breite des Rechtecks berührt und dem Punkt c des Rechtecks dar.
nur fehlen ja nun zwei angaben, ist das ein möglicher Lösungsweg oder ist das komplett falsch??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 25.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
ist was unverständlich, dann bitte bescheid sagen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Hast Du vielleicht mal eine entsprechende Skizze zu der Aufgabe bzw. mit Deinen Bezeichnungen.
Liegt $M_$ auf der langen Seite mit 12 cm oder auf der kurzen Seite mit 8 cm?
Gruß
Loddar
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Ich habe das jetzt nicht im einzelnen ausgerechnet, aber "rein intuitiv" würde ich das so sagen:
Wenn du das Rechteck in ein Koordinatensystem zeichnest, dann sind:
A(0/0), B(12/0), C(12/8) und D(0/8)
Dann ist M(12/4) = in der Mitte zwischen B und D
Das "optimale Parallelogramm" ist dann:
N(0/4), b(12/0), M(12/4) und D(0/8)
= warum optimal: weil man die volle Länge der Strecke DM ausnutzt !
Jetzt muss man nur noch g und h bestimmen (das sollte zu schaffen sein), denn g*h ist die markierte Fläche.
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Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 25.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Ich weiß allerdings nicht, was mit der Fläche geschieht, wenn h größer und g dafür kleiner wird.
Es hat den Augenschein, als wenn die Fläche dann kleiner wird, aber das kann auch täuschen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
die Lösung von rabilein1 ist ja lustig, aber es ahndelt sich um eien extremwertaufgabe, bei der das rechnerisch belegt werden muss ^^ : dementsprechend ist nichts mit ablesen ^^
das ganz in ein koordinatensysstem zu verschiebn wiederum ist eien sehr gute idee ih hänge mal ne skizze an wie das dargestellt ist
[Dateianhang nicht öffentlich]
BC = 8cm
AB = 12cm
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> die Lösung von rabilein1 ist ja lustig, aber es ahndelt
> sich um eien extremwertaufgabe, bei der das rechnerisch
> belegt werden muss
Die Aufgabe ist ja wohl komplizierter als zunächst gedacht !!!
Vor allem deshalb, weil ja nicht einmal klar zu sein scheint, wie denn das gesuchte Parallelogramm überhaupt in dem Rechteck liegt.
Ist es so wie in Skizze 1 oder wie in Skizze 2 ?
Da die Maße des Rechteckes bekannt sind, sollte man eine Formel entwickeln, welche Fläche - in Abhängigkeit von X - das Parallelogramm jeweils hat, und zwar einmal mit Skizze 1 und dann mit Skizze 2.
Und dann aus dieser Formel den Extremwert (1. Ableitung gleich NULL) rauskriegen, und als letztes dann sehen, ob die Fläche dann bei Skizze 1 oder bei Skizze absolut größer ist.
Theoretisch ist die Aufgabe lösbar, aber da scheint eine Menge "Arschleder" (hoher Rechenaufwand) erforderlich zu sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Mit dem Begriff einer Figur, die in eine andere "eingeschrieben" bzw. "einbeschrieben" ist,
meint man gewöhnlich - ohne es immer zu erwähnen - dass die Ecken der einbeschriebenen
Figur auf dem Rand der umfassenden Figur liegen sollen. Der einem Dreieck einbeschriebene
Kreis (Inkreis) berührt alle drei Seiten des Dreiecks.
Im vorliegenden Fall, wo das dem Rechteck "einbeschriebene" Parallelogramm maximale
Fläche haben soll, ist dies umsomehr sinnvoll: zu jedem Parallelogramm, von dem nur
zwei (gegenüberliegende) Ecken auf dem Rand des Rechtecks liegen (und die anderen beiden
in dessen Innerem) kann ersetzt werden durch eines mit grösserem Flächeninhalt und
4 Ecken auf dem Rand.
LG Al-Ch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich packe mir so etwas immer gerne ins Koordinatensystem.
Ich habe z.B. so angefangen, dass der Punkt A im Koordinatenursprung liegt.
B hätte dann die Koordinaten (12|0) u.s.w.
Dann kannst du die Gleichungen aller wichtigen Seiten des Parallelogramms aufstellen! Die kürzeren Seiten in deiner Skizze haben ja den selben Anstieg wie die Gerade durch D und M, und den kannst du ja konkret angeben.
Fehlen dir nur die y-Achsenabschnitte, für die du einfach erst n oder b schreibst. Im Endeffekt wirst du danach auflösen.
Aber bevor ich weiterschreibe, kannst es ja mal selber versuchen! Bevor du dich ärgerst, dass du es auch gekonnt hättest ;)
Als Kontrolle: Ich komme auf n=3, hab's aber auch nur flüchtig gemacht.
Damit wäre unter anderem die Grundfläche [mm] g=\wurzel{90}cm [/mm] lang.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja die idee ist gut, ist aj bei vielen aufgaben so. Also als Gleichugn für die gerade DM habe ich y= [mm] \bruch{-1}{3}x+8 [/mm] , dass heißt die STeigung der beiden anderen Seiten muss auch [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] sein, aber wie soll ich nun da wo die punkte ja variable sidn auf den y-achsenabschnitt kommen??
und sehe ich es drichtig, dass danach nru noch alles von der höhe H anhängig ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Genau, die beiden Geraden haben den Anstieg [mm] m=-\bruch{1}{3}.
[/mm]
Ich betrachte jetzt mal die untere, kurze Seite (ich gehe von deiner Skizze aus).
Die Gleichung der Geraden, auf der die Seite liegt, wäre: [mm] y=-\bruch{1}{3}x+n. [/mm] Das n, weil sie ja überall die y-Achse schneiden kann, solange es noch im Rechteck liegt. Deshalb könnte man jetzt schon sehen, dass n zwischen 0 und 8 liegen muss!
Nun gut, du hast also die Geradengleichung [mm] y=-\bruch{1}{3}x+n.
[/mm]
Ich habe weitergemacht, indem ich die Länge der Grundseite in Abhängigkeit von n berechnet habe. Dazu musst du ja dann nur die Schnittpunkte dieser Geraden mit der x- & y-Achse berechnen und dann den Abstand dieser Punkte ausrechnen.
Wenn du das hast, brauchst du noch die Höhe des Parallelogramms. Dazu kannst du ausnutzen, dass die Höhe ja senkrecht auf der Grundseite steht, und du kennst ja sicher den Zusammenhang der Steigungen orthogonaler Geraden!
Dann könntest du nämlich auch die Gleichung der Geraden aufstellen, auf der dann die Höhe liegt.
Dann dauert es auch nicht mehr lange, bis du deine Flächeninhaltsformel in Abhängigkeit von n hast ;)
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
"Nun gut, du hast also die Geradengleichung $ [mm] y=-\bruch{1}{3}x+n. [/mm] $
Ich habe weitergemacht, indem ich die Länge der Grundseite in Abhängigkeit von n berechnet habe. Dazu musst du ja dann nur die Schnittpunkte dieser Geraden mit der x- & y-Achse berechnen und dann den Abstand dieser Punkte ausrechnen."
sorry das versteh ich nicht. wie soll ich den die geradengelichugn berechnen?? beziehungsweise sie in abhängigkeit von n darstellen soll, wie soll ich denn nur mit [mm] y=-\bruch{1}{3}x+n. [/mm] die schnittpunkte mit den achsen berechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Die kannst du wie gehabt berechnen, nur dass deine Punkte wohl ein paar n enthalten werden :)
[mm] S_y(0|n) [/mm] wäre der Schnittpunkt mit der y-Achse, einfach an der Geradengleichung abzulesen!
Und für den Schnittpunkt mit der x-Achse müsstest du ja y=0 setzen.
[mm] 0=-\bruch{1}{3}x+n
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}x=n
[/mm]
x=3n
=> [mm] S_x(3n|0)
[/mm]
Kannst du die Länge der Grundseite [mm] g=\overline{S_yS_x} [/mm] selbst berechnen? Und lass dich nicht von dem n abschrecken, das wird dich die ganze Zeit begleiten! Denn irgendwann, wenn du dann den Extremwert berechnest, musst du ja nach einer Variablen auflösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
also für die strecke g komtm nach dem pythagoras ja [mm] 2\wurzel{n} [/mm] raus, die höhe müsste die funktionsgleichung
y=3x+n haben aber wie führ ich dass dne jetzt zusammen ich hab ja n und x als variablen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hmm, ne da sollte was anderes rauskommen!
[mm] S_y(0|n)
[/mm]
[mm] S_x(3n|0)
[/mm]
[mm] g=\overline{S_yS_x}=\wurzel{(0-3n)²+(n-0)²}=\wurzel{9n²+n²}=\wurzel{10n²}=\wurzel{10}n
[/mm]
Richtig, die Höhe kann z.B. auf der Geraden y=3x+n liegen, die habe ich auch genommen.
Jetzt bräuchtest du nur noch die Gleichung der oberen Geraden, die parallel zur Grundseite ist!
Von ihr weißt du ja auch, dass die den Anstieg [mm] m=-\bruch{1}{3} [/mm] hat.
Jetzt bräuchtest du nur noch einen Punkt, wo die Gerade durch geht, damit du ihre Gleichung explizit angeben könntest! Wenn du ihre Gleichung hättest, könntest du ja dann diese Gerade mit der Höhengerade gleichsetzen und nach x umstellen, somit hast du als Schnittpunkt nur wieder was mit n.
Versuch mal einen Punkt zu finden, durch den die obere Gerade geht. Es hilft dir vielleicht, wenn du beachtest, dass das kleine Dreieck was da unten links gebildet wird, die gleichen Maße hat, wie das oben rechts.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja mist hab vergessen die 3 zu quadrieren. aber welchen puntk meinst du??
ich habde ja weder die gleichung von der unteren grade ( also untere kleine ) noch die von der oberen kleinen da hilft es mri doch auch nicht , wenn cih weis wie groß das dreieck da ist, mit dne strahlensätzen habe ich da ja shcon ma angesetzt aber das war vergeblich..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Ich versuch's mal mit deiner Zeichnung, daran lässt sich alles einfacher erklären :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe mal alles zusammengetragen, was wir schon wissen.
Wenn du jetzt die y-Koordinate von P kennen würdest, könntest du auch die Gleichung der hellblauen Gerade bestimmen, z.B. mit der Punkt-Richtungs-Form (oder du stellst sie "zu Fuß" auf, wie du willst).
Jetzt habe ich dir noch 2 kleine, graue Strecken eingezeichnet. Einmal unten links, bei dem n, und oben rechts.
Kannst du dir daraus die y-Koordinate von P ableiten? Diese wird dann auch ein n enthalten ;)
Wenn du die hellblaue Gerade auch hast, kannst du die mit der roten Gerade, der Höhe, gleichsetzen und du erhälst den Schnittpunkt S. Und der Abstand von Q(0|n) und S wäre ja dann deine Höhe.
Teufel
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Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
also erstmal danke, dass du dir so wahnsinnig viel mühe gibst, aber ich scheine komplett auf dem schlauch zu stehen, aus der Zeichnung könnte ich jetzt höchstens schätzen, dass dass die Hälfte ist also der schnittpunkt mit der grauen strecke oben (12/6) sein müsste, aber ich finde dorthin keinen logischen Weg
achso und nochmal entschuldigung wegen des undeutlichen schreibstils, war in eile..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 26.05.2008 | | Autor: | abakus |
> also erstmal danke, dass du dir so wahnsinnig viel mühe
> gibst, aber ich scheine komplett auf dem schlauch zu
> stehen, aus der Zeichnung könnte ich jetzt höchstens
> schätzen, dass dass die Hälfte ist also der schnittpunkt
> mit der grauen strecke oben (12/6) sein müsste, aber ich
> finde dorthin keinen logischen Weg
> achso und nochmal entschuldigung wegen des undeutlichen
> schreibstils, war in eile..
Hallo,
das Wesentliche der Aufgabe ist hier noch nicht aufgetaucht. Das Dreieck DMC ist ähnlich zum Dreieck CP... (Strahlensatz!!).
Das innere Parallelogramm ist die Differenz aus den Rechteck und den vier abgeschnittenen Ecken (von denen sich je 2 zu einem Rechteck ergänzen).
Bezeichne einfach die Länge von CP mit u (die Variable hatten wir noch nicht) und berechne die zweite Kathetenlänge dieses Dreiecks mit dem Strahlensatz. Das Dreieck in der rechten unteren Ecke hat dann eine Seitenlänge b-u, und die andere bekommst du auch noch raus...
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Die gesuchte Fläche F sei dann also
F = 12*8 - k*j - (12-k)*(8-j)
und [mm] \bruch{k}{j} [/mm] = [mm] \bruch{12}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{1} [/mm] bzw. k=3*j
und das kann man dann oben einsetzen....
Theoretisch sollte das funktionieren - und dann kommt da 'ne quadratische Gleichung raus, und wenn man davon die 1. Ableitung bildet und NULL setzt, dann sollte da für j ein Wert rauskommen.
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Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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bsihcne msühma, dri zu flogen wnen du fsat alee bsuhctabehn vrewsechlst...
gusrs al-Ch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 26.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo noobo2!
> Ein Rechteck ABCD ist 12 cm lang und 8 cm breit. M sei die
> Mitte von BC. Dem Rechteck soll ein Parallelogramm so
> einbeschrieben werden, dass zwei Seiten zu DM parallel sind
> und der Flächeninhalt des Parallelogramms maximal ist.
Ich glaube deine Aufgabe wird hier schwieriger gemacht, als sie eigentlich ist. Der Thread ist ja auch schon ziehmlich lang geworden.
Es ist eine normale Extremwertaufgabe und so solltest du auch ran gehen, d.h.: Haupt- und Nebenbedingung und die Zielfunktion aufstellen.
Los geht´s!
geg.: AB=DC= 12cm; AD=BC=8cm; CM=4cm
im Bild: KL=k=y; IJ=j=x
1. Hauptbedingung
Fläche A des Parallelogramms maximal
Wenn wir dem Rechteck ein Parallelogramm einschreiben, bleiben 4 Dreiecke übrig, von dennen immer 2 gleich sind(siehe Bild).
A(PLG)= A(Rechteck) - A(Dreiecke)
Die kleineren Dreiecke berechnen wir mit [mm] 2*\bruch{xy}{2} [/mm] (es sind ja 2 gleiche) und
die größeren mit [mm] 2*\bruch{(8-x)(12-y)}{2}
[/mm]
Somit ist die HB: A(x,y)= 12*8 - [mm] 2*\bruch{xy}{2} [/mm] - [mm] 2*\bruch{(8-x)(12-y)}{2}
[/mm]
gekürzt bleibt: A(x,y)= 96 - xy - (8-x)(12-y)
Für die Nebenbedingung nehmen wir deinen ersten Ansatz, die Strahlensätze.
NB: [mm] \bruch{y}{CA} [/mm] = [mm] \bruch{x}{CM}, [/mm] oder eingesetzt [mm] \bruch{y}{12} [/mm] = [mm] \bruch{x}{4} [/mm] --> x= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] y
So, der Rest müsste klar sein: x in die HB einsetzen, dann bekommst du eine Zielfunktion mit nur einer Variablen.
Ableitung bilden, =0 setzen, auf Maximum überprüfen, ausrechnen.
Wenn alles richtig ist, müsstest du auf eine Fläche von [mm] A=54cm^{2} [/mm] kommen.
Versuchs mal!
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 26.05.2008 | | Autor: | aram |
Das Bild hinterher
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mo 26.05.2008 | | Autor: | aram |
Ups, ist wohl etwas zu groß geraten,
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Hier das gleiche in kleiner
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Mfg Aram
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
so erscheint es logisch und sehr unkompliziert, vielen dank für die hilfe
aber worauf wollte teufel jetz eigentlich hinaus??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 26.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
worauf wollte teufel jetzt hinaus, also wie wollte er es denn anders lösen??, sein ansatz hat für mich schona uch sinn gemacht, nur den letzten schritt habe ich nicht verstanden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Ich wollte halt direkt rangehen, dauert auch nicht so viel länger, aber ist halt Geschmackssache.
Ich habe halt direkt mit A=g*h gearbeitet und ich musste nur die Längen von g und h ausrechnen.
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