parameter t < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 17.05.2005 | | Autor: | alohol |
hi...
ich hab hier eine funktion:
$ [mm] f(x)=-ln(t)\cdot{}t^x-x^{-2} [/mm] $
wie kann ich die Nullstellen in abhängigkeit von t berechnen?
Also bsp. für t>0.1 => 3 Nullstellen oder so ähnlich ...
wie geht das hier ?
|
|
| |
|
Hallo alohol,
> ich hab hier eine funktion:
> [mm]f(x)=-ln(t)\cdot{}t^x-x^{-2}[/mm]
>
> wie kann ich die Nullstellen in abhängigkeit von t
> berechnen?
Indem Du ein Näherungsverfahren dazu herleitest:
[m]f\left( x \right): = - \ln \left( t \right)t^x - x^{ - 2} = 0 \Leftrightarrow \underbrace {x^2 t^x \ln \left( t \right) + 1}_{ = :z\left( x \right)} = 0[/m]
Kennst Du das Newton-Verfahren? Das geht so:
[m]x_{i + 1} : = x_i - \frac{{z\left( {x_i } \right)}}
{{z'\left( {x_i } \right)}}[/m]
In unserem Fall wäre das dann:
[m]x_{i + 1} : = x_i - \frac{{z\left( {x_i } \right)}}
{{z'\left( {x_i } \right)}} = x_i - \frac{{x_i^2 t^{x_i } \ln \left( t \right) + 1}}
{{t^{x_i } \left( {x_i^2 \ln \left( t \right)^2 + 2x_i \ln t} \right)}}[/m]
Wobei der Nenner nicht 0 werden darf (also [m]t \ne 1 \wedge x_i \ne 0 \wedge x_i \ln t \ne - 2[/m]). Jetzt hast Du ein Verfahren mit dem Du alle Nullstellen von f lokalisieren kannst, vorrausgesetzt Du kannst den Anfangswert gut raten (schau dir dazu z.B. einige Graphen von f für verschiedene t an). "Gut Raten" bedeutet, daß der Anfangswert nicht "in der Nähe" eines Extremums oder einer Wendestelle (?) liegen sollte.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 18.05.2005 | | Autor: | alohol |
cool Karl Pech.
Ja ich kenne das Newton Verfahren hatte auch schon irgendwie daran gedacht. ABer das Problem ist wie soll das Newton Verfahren mit einer Funktio n mit Parameter durchführen???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo alohol,
> Ja ich kenne das Newton Verfahren hatte auch schon
> irgendwie daran gedacht. ABer das Problem ist wie soll das
> Newton Verfahren mit einer Funktion mit Parameter
> durchführen???
Das ist das Problem. Durch das Newton-Verfahren hast Du das [mm] $x\!$ [/mm] "eliminieren" können, so daß Du jetzt so etwas wie eine Funktion erhalten hast, die nur von [mm] $t\!$ [/mm] abhängt. Du gibt der Funktion das [mm] $t\!$, [/mm] einen Startwert [mm] $x_0$, [/mm] die Anzahl der Iterationsschritte [m]N \in \IN[/m] und sie liefert dir dann die Nullstelle, wenn der Startwert passend war und das [mm] $t\!$ [/mm] eine Funktion mit Nullstellen angibt. (Das muß vorher überprüft werden.) Aber ohne das konkrete [mm] $t\!$ [/mm] kannst Du hier auch mit Newton nichts ausrichten. Denn für manche [mm] $t\!$ [/mm] hat deine Funktion gar keine Nullstellen.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Ich habe jetzt im Internet folgende Konvergenzbedingung für das Newton-Verfahren gefunden:
[m]\left|z\left(x\right)z''\left(x\right)\right| < \left(z'\left(x\right)\right)^2[/m]
Wenn das stimmt, kannst Du anhand dieser Bedingung und anhand der Angaben, die ich vorher gemacht habe, ein Programm schreiben, das dir [mm] $\forall [/mm] t$ eine Nullstelle (oder Fehlermeldung) für die entstehende Funktion liefern sollte.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
