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Hi, Bastiane,
leider kann ich Dir auch nur die Rekursionsformel für das unbestimmte Integral liefern:
[mm] \integral{t^{n}e^{-t} dt} [/mm] = [mm] -t^{n}*e^{-t} [/mm] + n* [mm] \integral{t^{n-1}e^{-t} dt}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Zwerglein!
> leider kann ich Dir auch nur die Rekursionsformel für das
> unbestimmte Integral liefern:
>
> [mm]\integral{t^{n}e^{-t} dt}[/mm] = [mm]-t^{n}*e^{-t}[/mm] + n*
> [mm]\integral{t^{n-1}e^{-t} dt}[/mm]
Kann ich denn damit meine Aufgabe lösen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, man könnte die Aufgabe so lösen, wie Zwerglein es vorgeschlagen hat, durch direkte Induktion (wäre sogar einfacher  ).
Das aber soll ja nicht gemacht werden, sondern es soll über ein parameterabhängiges Integral gelöst werden..
Definiere :
$F(y) = [mm] \int\limits_0^x e^{-ty}\, [/mm] dt$.
Dann gilt:
[mm] $F^{(n)}(y) [/mm] = [mm] \int\limits_0^x \frac{\partial^x}{\partial y^n}(e^{-ty})\, [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^n (-t)^n \cdot e^{-ty}\, [/mm] dt$.
Daraus folgt:
[mm] $\int\limits_0^x t^n e^{-t}\, [/mm] dt = [mm] \frac{F^{(n)}(1)}{(-1)^n}$.
[/mm]
Versuche nun eine Formel für [mm] $F^{(n)}(1)$ [/mm] zu finden und diese mit Induktion zu beweisen.
Tipp: Bilde mal suzessive [mm] $F^{(0)}(y)$, $F^{(1)}(y)$, $F^{(2)}(y)$, [/mm] usw. Fällt dir eine Gesetzmäßigkeit auf?
Liebe Grüße
Stefan
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![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]"){kind=small}
