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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 So 17.05.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die Funktion [mm] f(x,y,z)=\wurzel{x^2+4*y^2+|z|}. [/mm] Bestimmen Sie die Punkte, in denen die Ableitungen [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}, \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] existieren. |
Moin,
nun, ich würde einfach damit anfangen, die Ableitungen zu bilden...
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{\wurzel{x^2+4*y^2+|z|}}
[/mm]
Diese existiert doch offensichtlich nur, wenn x,y und z [mm] \not= [/mm] 0 ist...
das gleiche gilt für [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}, [/mm] wo sich ja nur der Zähler verändert.
Seh ich das bis hierhin richtig?
Für [mm] \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] würde ich die Funktion halt trennen:
[mm] f(x,y,z)=\wurzel{x^2+4*y^2+z}, [/mm] für z [mm] \ge0
[/mm]
[mm] f(x,y,z)=\wurzel{x^2+4*y^2-z}, [/mm] für z<0
und damit die Ableitung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}= \bruch{1}{\wurzel{x^2+4*y^2+z}} [/mm] für [mm] z\ge0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}= \bruch{-1}{\wurzel{x^2+4*y^2-z}} [/mm] für z<0
Nun weiß ich nicht so ganz weiter, es muss ja eigentlich gezeigt werden, dass die Funktionen am Übergang z=0 gleich sind, bloß wie mach ich das?
Lieber Gruß
Sierra
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Hiho,
sieht doch alles schon prima aus.
> Nun weiß ich nicht so ganz weiter, es muss ja eigentlich
> gezeigt werden, dass die Funktionen am Übergang z=0 gleich
> sind, bloß wie mach ich das?
Wieso muss das gezeigt werden?
Sind die Ableitungen denn gleich, wenn du z gegen 0 laufen lässt?
Oder anders: Für welche x,y sind sie gleich, wenn du z gegen 0 laufen lässt?
Was heisst das also?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 17.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo und danke erstmal !
Die Ableitungen unterscheiden sich im Vorzeichen, sofern ich z gegen null laufen lasse. Sogesehen sind die beiden Funktionen nur gleich, wenn ich x und y gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, da die Funktion dann gegen null strebt und das Vorzeichen dann unerheblich wäre.
So richtig?
Gruß Sierra
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> Die Ableitungen unterscheiden sich im Vorzeichen, sofern
> ich z gegen null laufen lasse. Sogesehen sind die beiden
> Funktionen nur gleich, wenn ich x und y gegen [mm]\infty[/mm] laufen
> lasse, da die Funktion dann gegen null strebt und das
> Vorzeichen dann unerheblich wäre.
> So richtig?
Hm, ja, du meinst das richtige. Aber brings doch mal auf den Punkt 
Für welche x,y [mm] \in \IR [/mm] sind die Ableitungen dann gleich und was bedeutet das dann für die partielle Ableitung nach z ?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 17.05.2009 | | Autor: | Sierra |
öhm, ich kann nichts neues sagen... die Ableitungen wären nur dann gleich, wenn x oder y (oder beide) gegen [mm] \infty [/mm] gehen...
Es würde bedeuten, dass die Ableitung nach z durchgehend Null wäre (also die Nullfunktion), damit sie überhaupt existiert? :S
Ist wohl nicht wirklich auf den Punkt gebracht :D bräuchte wohl doch mal einen dezenten Hinweis..
Gruß Sierra
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Oder anders ausgedrückt: Für z = 0 ist f nirgends partiell nach z differenzierbar
Was ist mit z [mm] \not= [/mm] 0 ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 17.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hmm, ich habe ja die Funktion aufgetrennt... und wenn sie beim Übergang nicht differenzierbar ist, dann bedeutet das doch eigentlich, dass sie überhaupt nicht differenzierbar ist, oder nicht?
Ansonsten existiert aber für jedes z [mm] \not= [/mm] 0 die Ableitung nach z, wenn ich das richtig sehe... was nun doch bedeutet, dass die Ableitung existiert, außer für z=0?
Ich bin verwirrt :P
Gruß Sierra
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> Hmm, ich habe ja die Funktion aufgetrennt... und wenn sie
> beim Übergang nicht differenzierbar ist, dann bedeutet das
> doch eigentlich, dass sie überhaupt nicht differenzierbar
> ist, oder nicht?
Nein,
für alle anderen z ungleich Null ist die Funktion ja differenzierbar, weil du die Funktion da klar definiert ist durch deine "Aufteilung". Einzig am Übergang z=0 musst du dir den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert anschauen und der ist nunmal unterschiedlich für alle x,y. Und damit ist die Funktion an der Stelle z=0 nicht differenzierbar.
f(x) = |x| ist ja auch für alle x [mm] \not= [/mm] 0 differenzierbar, aber in x=0 eben gerade nicht.
Das wirkt sich aber in keiner Art und Weise auf den Rest des Definitionsbereiches aus 
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 So 17.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Das Beispiel f(x) = |x| hatte ich auch im Kopf, war aber zu sehr darauf fixiert, dass die Funktion, so wie sie da steht, nicht diffbar ist... :)
Vielen Dank für deine Mühe !
Gruß Sierra
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