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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - partielle Abl. Skalarprodukt
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partielle Abl. Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Di 07.05.2013
Autor: Sam90

Aufgabe
Beweisen Sie die Bemerkung: Seien [mm] f:U\to \IR^m, x\mapsto (f_1 (x),...,f_m (x))^T [/mm] und [mm] g:U\to \IR^m, x\mapsto (g_1 (x),...,g_m (x))^T [/mm] für [mm] U\subset \IR^n [/mm] zwei Funktionen, die in [mm] x_0 \in [/mm] U partiell differenzierbar sind. Dann gilt für die partiellen Ableitungen des Skalarprodukts [mm] :=f^{T}g, [/mm] die Gleichung [mm] D_i (x_0)= [/mm] + [mm] , [/mm] i=1,...,n.


Guten Abend!

Ihr müsstet mir mal bei der Aufgabe helfen. Was partielle Ableitungen sind weiß ich und partiell differenzierbar haben wir so definiert:
Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen, f : U [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] U. Sei i [mm] \in [/mm]
[mm] \{1, . . . , n\}. [/mm] Dann heißt f in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar in der i-ten Koordinatenrichtung, wenn der Limes [mm] D_i f(x_0):= \limes_{h\rightarrow 0, h\in \IR^{\*},x_0 + he_i \in U} \bruch{f(x_0 + he_i) − f(x_0)}{h}. [/mm] Ich weiß nur nicht, wie mich das weiterbringen soll?! Über Hilfe wäre ich echt dankbar!

Grüße
Sam

        
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Di 07.05.2013
Autor: leduart

Hallo
du sollst einfach die Produktregel fuer skalarprodukte hinschreiben, wenn du das Produkt ausschreibst, ist es einfach die normale Produktregel.
gruss leduart

Bezug
                
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 Mi 08.05.2013
Autor: Sam90


> Hallo
>  du sollst einfach die Produktregel fuer skalarprodukte
> hinschreiben, wenn du das Produkt ausschreibst, ist es
> einfach die normale Produktregel.
>  gruss leduart

Alles klar, danke! Ich weiß nur nicht, ob das einen Sinn macht, was ich mir hier jetzt zusammengeschrieben habe... Ich schreib einfach mal, was ich gemacht habe, falls man das überhaupt so darf. Also:


[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x)-(x_0)}{x-x_0} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-}{x-x_0} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{--+}{x-x_0} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-+-}{x-x_0} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{+}{x-x_0} [/mm]
[mm] =+. [/mm]


Bezug
                        
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:02 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> > Hallo
>  >  du sollst einfach die Produktregel fuer skalarprodukte
> > hinschreiben, wenn du das Produkt ausschreibst, ist es
> > einfach die normale Produktregel.
>  >  gruss leduart
>
> Alles klar, danke! Ich weiß nur nicht, ob das einen Sinn
> macht, was ich mir hier jetzt zusammengeschrieben habe...
> Ich schreib einfach mal, was ich gemacht habe, falls man
> das überhaupt so darf. Also:
>  
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x)-(x_0)}{x-x_0}[/mm]

Das geht gewaltig in die Hose !   Duteilst durch [mm] x-x_0 [/mm] !   Durch einen Vektor !!!!!!!


FRED


>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-}{x-x_0}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{--+}{x-x_0}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-+-}{x-x_0}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{+}{x-x_0}[/mm]
>  
> [mm]=+.[/mm]
>  


Bezug
                                
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Mi 08.05.2013
Autor: Sam90

Ja du hast recht!!! Jetzt hab ich aber gar keine Ahnung, was ich machen soll bzw steh ich voll auf dem Schlauch, wie ich das ändern kann

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mi 08.05.2013
Autor: fred97

Für |h| hinreichend klein (h [mm] \in \IR) [/mm] sei

[mm] F(h):=f(x_0+he_i), G(h):=g(x_0+he_i) [/mm] und P(h):=<F(h),G(h)>

Es ist

[mm] D_if(x_0)=F'(0) [/mm] und [mm] D_ig(x_0)=G'(0) [/mm]

Betrachte also [mm] \bruch{P(h)-P(0)}{h-0} [/mm]

FRED

Bezug
                                                
Bezug
partielle Abl. Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Mi 08.05.2013
Autor: Sam90

Ok, super! Vielen Dank, das kriege ich hin :)

Grüße

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