partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 27.05.2008 | | Autor: | vicki |
| Aufgabe | Gegeben ist
f: [mm] \IR^{n} \to \IR, [/mm] f(x) = <x,Ax>
mit einer beliebigen, nicht notwendigerweise symmetrischen [mm] n\times [/mm] n -Matrix A. Bestimmen sie Df(x) und D²f(x).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo zusammen,
Ich habe jetzt den Differenzenquotient eingesetzt...bin dann aber zu keinem Ergebniss gekommen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}( [/mm] <x+h, A(x+h)> - [mm] )/\parallel h\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] <x,A(x+h)> + <h,A(x+h)> - <x,Ax> / [mm] \parallel h\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] <x, Ax + Ah> + <h, Ax + Ah> - <x,Ax> / [mm] \parallel h\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] <x,Ax> + <x,Ah> + <h,Ax> + <h,Ah> - <x,Ax> / [mm] \parallel h\parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] <x,Ah> + <h,Ax> + <h,Ah> / [mm] \parallel h\parallel
[/mm]
<h,Ah> geht quatratisch gegen Null. Aber was ist jetzt meine Ableiteung?
Grüße vicki.
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Hallo!
Ich denke, damit kommst du nicht weiter. Ich vermute, <,> ist das gewöhnliche Skalarprodukt?
Dann würde ich das eher im Indexkalkül machen. Weißt du, wie diese Formel im Indexkalkül aussieht?
Dann bilde die Ableitungen nach jedem einzelnen [mm] x_i, [/mm] das sind also n Terme, die dein Df bilden und als Vektor geschrieben werden können. anschaulich gibt dir dieser Vektor die Richtung im Raum an, in die sich der Wert deiner Formel am stärksten ändert.
Für D²f mußt du die n Terme nochmal nach allen Komponenten ableiten, du hast dann nxn Terme, die sich als Matrix schreiben lassen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Es geht einfacher als Sebastian vorgeschlagen hat.
Zunächst einmal mußt Du Dir die Def. der Diff. barkeit im [mm] R^n [/mm] nochmal anschauen.
Wenn n=1 ist, so ist die Ableitung 2ax, also vermutet man im [mm] R^n:
[/mm]
f'(x)= 2Ax. Wenn Du damit in die Def. der Diff. barkeit im [mm] R^n [/mm] eingehst , wirst Du scheitern, vielleicht siehst Du dabei, 2Ax die Ableitung ist, wenn A symmetrisch ist.
Nächster Versuch: f'(x)= [mm] (A+A^T)x
[/mm]
Berechne nun:
[mm] (--)/||h||
[/mm]
wenn du jetzt h gegen 0 gehen lässt,so siehst du, dass
f'(x)= [mm] (A+A^T)x.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 27.05.2008 | | Autor: | vicki |
hallo. danke schonmal für die Hilfe.
Was ich noch nicht verstanden habe ist, woher die Ableitung f'(x)= [mm] (A+A^T)x [/mm] kommt.
[mm] (--)/||h|| [/mm] und warum muss ich [mm] - [/mm] rechnen?
Ich habe auch versucht das auszurechnen:
<x,Ah> + <h,Ah> - [mm] [/mm] / ||h|| bekomme ich raus....
Vlt könntet ihr mir noch einen Tipp geben...danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Formuliere mal exakt die Def. der Diff.barkeit im [mm] R^n
[/mm]
FRED
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